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Résoudre l’équation cos^n(x )– sin^n(x) = 1 avec n entier
naturel.cos^n ça veut dire cos au enième puissance.
1- cos^n(x)+isin^n(x)=exp(inx)
2- cos^n(x)-isin^n(x)=exp(-inx)
cos^n(x)=1/2(exp (inx) + exp (-inx)
sin^n(x)=1/2i(exp(inx)-exp(-inx)
cos^n(x)-sin^n(x)=1/2{(1-1/i)exp(inx)+(1+1/i)exp(-inx)}
= 1/2i {(1-i)exp(inx)-(1+i)exp(-inx)
or 1-i=V2exp(-i pi/4) (V2=racine carrée de 2)
et 1+i=V2exp(i pi/4)
en remplaçant on obtient
=1/2i {expi(nx-pi/4) -exp-i(nx-pi/4)
=V2sin (nx-pi/4)
on doit donc résoudre
sin(nx-pi/4)=1/V2=sin(pi/4)
d'ou
nx=pi/8 [2pi]
x=pi/8n [2pi]
1- cos^n(x)+isin^n(x)=exp(inx)
2- cos^n(x)-isin^n(x)=exp(-inx)
cos^n(x)=1/2(exp (inx) + exp (-inx)
sin^n(x)=1/2i(exp(inx)-exp(-inx)
cos^n(x)-sin^n(x)=1/2{(1-1/i)exp(inx)+(1+1/i)exp(-inx)}
= 1/2i {(1-i)exp(inx)-(1+i)exp(-inx)
or 1-i=V2exp(-i pi/4) (V2=racine carrée de 2)
et 1+i=V2exp(i pi/4)
en remplaçant on obtient
=1/2i {expi(nx-pi/4) -exp-i(nx-pi/4)
=V2sin (nx-pi/4)
on doit donc résoudre
sin(nx-pi/4)=1/V2=sin(pi/4)
d'ou
nx=pi/8 [2pi]
x=pi/8n [2pi]
1- cos^n(x)+isin^n(x)=exp(inx)
2- cos^n(x)-isin^n(x)=exp(-inx)
cos^n(x)=1/2(exp (inx) + exp (-inx))
sin^n(x)=1/2i(exp(inx)-exp(-inx))
cos^n(x)-sin^n(x)=1/2{(1-1/i)exp(inx)+(1+1/i)exp(-inx)}
= 1/2i {(1-i)exp(inx)-(1+i)exp(-inx)}
or 1-i=V2exp(-i pi/4) (V2=racine carrée de 2)
et 1+i=V2exp(i pi/4)
en remplaçant on obtient
=1/2i {expi(nx-pi/4) -exp-i(nx-pi/4)
=V2sin (nx-pi/4)
on doit donc résoudre
sin(nx-pi/4)=1/V2=sin(pi/4)
d'ou
nx=pi/8 [2pi]
x=pi/8n [2pi]
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