1°)

Si -1 <= Un <= 1, on a=
1 >= -Un >= -1
1 + 1 >= 1 - Un >= -1 + 1
1 >= 1 -Un >= 0
0 <= 1 - Un <= 1
0 <= (1-Un)/2 <= 1/2
V0 <= V[(1-Un)/2] <= V(1/2)
0 <= V[(1-Un)/2] <= (V2)/2
0 <= U(n+1) <= (V2)/2
et donc a fortiori
-1 <= U(n+1) <= 1
Donc si -1 <= Un <= 1 on a aussi -1 <= U(n+1) <= 1 et Un existe pour tout
n supérieur.   (1)
---
Si Un > 1, 1-Un < 0 et U(n+1) n'existe pas car la racine carrée
d'un nombre négatif n'existe pas. (2)  
---
Si Un < -1,
-Un > 1
1 - Un > 1 + 1
1 - Un > 2
(1 - Un)/2 > 1
V[(1 - Un)/2] > V1
U(n+1) > 1
et par (2), on a que U(n+2) n'existe pas.  (3)
---
(1), (2) et (3) montrent que:
La suite Un existe pout tout n >=k si et seulement si U(k) est dans
[-1 ; 1]
Donc la suite Un existe pour tout n >=0 si et seulement si U(0) est dans
[-1 ; 1]
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2°)
b)

sin((Pi/4) - (a/2)) = sin(Pi/4). cos(a/2) - cos(Pi/4).sin(a/2)
sin((Pi/4) - (a/2)) = (1/V2). cos(a/2) - (1/V2).sin(a/2)
sin((Pi/4) - (a/2)) = (1/V2). (cos(a/2) - sin(a/2))
sin²((Pi/4) - (a/2)) = (1/2).(cos(a/2) - sin(a/2))²
sin²((Pi/4) - (a/2)) = (1/2).(cos²(a/2) -2.cos(a/2).sin(a/2) + sin²(a/2))
sin²((Pi/4) - (a/2)) = (1/2).(1 -2.cos(a/2).sin(a/2))
sin²((Pi/4) - (a/2)) = (1/2).(1 - sin(a))
sin²((Pi/4) - (a/2)) = (1 - sin(a))/2

sin((Pi/4) - (a/2)) = +/- V[(1 - sin(a))/2]

Pour a dans [-Pi/2 ; Pi/2], c'est le signe + qui convient.
-> sin((Pi/4) - (a/2)) = V[(1 - sin(a))/2]
V[(1 - sin(a))/2] = sin((Pi/4) - (a/2))
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c)

On a montré -1 <= Un <= 1, mais on sait aussi que un >= 0 (par la racine
carrée) ->
0 <= Un <= 1

sin(a(n)) est croissante sur [-Pi/2 ; Pi/2] et sin(-Pi/2) = -1 et sin(Pi/2)
= 1

-> Il existe un unique a(n) appartenant à [-Pi/2 ; Pi/2] tel que: U(n)
= sin a(n)

U(n) = sin a (n)
U(n+1) = racine [(1-Un)/2]
U(n+1) = racine [(1-sin a (n))/2]
sin a (n+1) = V[(1-sin a (n))/2]
mais on a montré que:
sin((Pi/4) - (a/2)) = +/- V[(1 - sin(a))/2]
->
a(n+1) = (Pi/4) - (a(n)/2)
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d)
b(n) = a(n)-(Pi/6)
b(n+1) = a(n+1)-(Pi/6)
b(n+1) = (Pi/4) - (a(n) /2)-(Pi/6)
b(n+1) = (Pi/4) - (a(n) /2)-(Pi/6)
b(n+1) = (Pi/12) - (a(n) /2)
b(n+1) = (1/2).((Pi/6) - (a(n))
b(n+1) = -(1/2).((a(n) - (Pi/6))
b(n+1) = -(1/2).b(n)

Et donc bn est une suite géométrique de raison = -1/2
son premier terme b(0) = a(0)-(Pi/6)
et avec U(0) = sin a(0), a(0) = arcsin(U(0))
-> b(0) = arcsin(U(0)) - (Pi/6)

b(n) = [ arcsin(U(0)) - (Pi/6)].(-1/2)^n

b(n) = a(n)-(Pi/6)
a(n) = b(n)+(Pi/6)

a(n) = (Pi/6) + [arcsin(U(0)) - (Pi/6)].(-1/2)^n

U(n) = sin(a(n))

U(n) = sin((Pi/6) + [arcsin(U(0)) - (Pi/6)].(-1/2)^n )

lim(n->oo) U(n) = sin(Pi/6) = 1/2
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Sauf distraction.