F(x)= (ax²+ bx +c) . e^(-x)
F '(x) = e^(-x)  .[2ax+b)] - e^(-x) . [ax²+bx+c)
F '(x) = [-ax² + x(2a-b) + b-c].e^(-x)

Si F(x) est une primitive de f(x), alors on a:
F'(x) = f(x)
->
[-ax² + x(2a-b) + b-c].e^(-x) = x² . e^(-x)
-ax² + x(2a-b) + b-c = x²
En identifiant les 2 membres ->

a = -1
2a-b = 0
b-c = 0

Qui résolu donne:
a = -1; b=-2 et c = -2

->
F(x) = -(x² + 2x + 2).e^(-x)
qui est une primitive de f(x).
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Etude de f(x) = x².e^(-x)
f '(x) = 2x.e^(-x) - x².(e^(-x)
f '(x) = x.(2-x).e^(-x)
Et comme e^(-x) > 0 quelle que soit la valeur réelle de x, f '(x)
a le signe de x(2-x)

f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; 2[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 2
f '(x) < 0 pour x dans ]2 ; oo[  -> f(x) décroissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 0, ce minimum vaut f(0)=0.
Il y a un maximum de f(x) pour x = 2, ce maximum
vaut f(2) = 0,541341133

lim(x-> -oo) f(x) = +oo
lim(x -> +oo) f(x) = 0.  (car l'exponentielle est prépondérante sur
la puissance).
La droite y = 0 est donc asymptote horizontale de la courbe représentant
f(x) du coté des x positifs.