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Niveau Maths sup
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urne contenant des boules

Posté par
Yosh2
15-03-21 à 19:55

bonjour
une urne contient p boules blanches et q boules noires , on tire successivement n boules sans remise.
1/quelle est la proba d'obtenir le premiere blanche au k ieme tirage ?
2/quelle est la proba d'obtenir une seule blanche pendant les k premiers tirages?
3/quelle est la proba d'obtenir la deuxieme blanche au k ieme tirage?

1-on note Ni : <<obtenir une noire au i eme tirage>>
et Bi:<<obtenir une blanche au i eme tirage>>
la proba recherche est P(Bk(Ni)) avec i de 1 a k-1
par formule des proba composes qu'on repete k fois j'obtiens P= p/(p+q-k) (q-i)/(p+q-i) avec i de 1 a k-1
2- C : << obtenir une seule blanche pendant les k premiers tirages>>
la blanche peut occuper un place au sein de k place durant le tirage , il s'agit de cas disjoints
donc P(C) = P(Bj(Ni)) avec j de 1 a k et i de 1 a k et different de j , mais je n'arrive pas a simplifier davantage
3- je ne suis pas sur de la reponse precedente et je pense que ca sera quelque peu similaire

merci

Posté par
verdurin
re : urne contenant des boules 15-03-21 à 21:42

Bonsoir,
j'ai l'impression, mais la flemme de vérifier, que ta réponse à la première question est juste.
On peut aussi voir le problème de la façon suivante :
les k-1premières boules sont noires. On a choisi k-1 boules noires parmi q.
La probabilité est \binom{q}{k-1}/\binom{p+q}{k-1} et il reste p boules blanches parmi p+q-(k-1) boules. La probabilité pour que la k-ième soit blanche est donc p/(p+q-(k-1)).
La suite de la question est alors facile.

Je crois que ce point de vue permet de répondre « assez facilement » aux questions suivantes.

Posté par
Yosh2
re : urne contenant des boules 16-03-21 à 19:24

bonjour

2- j'avoue ne pas saisir totalement ce point de vue , mais je peux dire qu'il y a k emplacemnt possibles pour la boule blanche , en supposant qu'elle sort au i eme tirage , les i-1 premieres noires ont une proba de (i-1 parmi q)/(i-1 parmi p+q) et les k-(i+1) noires suivantes ont une proba de (k-(i+1) parmi q-(i-1))/(k-(i+1) parmi p+q-(i+1)) la blanche a quant a elle une proba de p/p+q-(i+1) , j'imagine que je dois faire le produit des proba precedentes puis faire une somme sur i de 1 a k, mais je ne suis pas tres sur
3- on applique la formule de la question 2 ( si elle est juste) a k-1 , puis qu'on multiplie par (p-1)/(p+q--k)

merci a vous

Posté par
ty59847
re : urne contenant des boules 16-03-21 à 19:59

Pour la question 1, Ok, on a un produit de plusieurs termes ( boule noire puis noire puis noire ... ) , et à la fin, proba d'avoir une blanche.
Mais il y a une erreur.

Soit il faut faire varier i de 0 à k-2
Soit il faut faire PRODUIT ( q+1-i)/(p+q+1-i)

Toujours vérifier ce qui ce passe dans les cas simples (ici k=2)

Posté par
matheuxmatou
re : urne contenant des boules 16-03-21 à 21:31

bonsoir

et même le terme devant le produit me semble faux ty59847

Posté par
flight
re : urne contenant des boules 18-03-21 à 11:05

salut

pour la question 1)  en posant pour les boules noires (n1,n2,n3....,nq) et pour les boules blanches b1,b2,b3,....bp
            

cas possibles : (p+q).(p+q-1)(p+q-2).....(p+q-k+1)
cas favorables : C(p,1)*C(q,k-1)*k*(k-1)!   ( car k places possibles pour la boule blanche et (k-1) ! dispositions possibles pour les boules noires)

Posté par
flight
re : urne contenant des boules 18-03-21 à 11:06

rectification; la boule blanche doit etre tirée en dernier , désolé donc:

cas possibles : (p+q).(p+q-1)(p+q-2).....(p+q-k+1)
cas favorables : C(p,1)*C(q,k-1)(k-1)!   ( car (k-1) ! dispositions possibles pour les boules noires)

Posté par
matheuxmatou
re : urne contenant des boules 18-03-21 à 11:32

flight
il n'y a aucune raison de parler de la place des boules noires... elles sont toutes équivalentes... on ne s'intéresse qu'à la couleur des boules.

tirer déjà (k-1) boules noires :

\dfrac{q}[p+q} \times \dfrac{q-1}[p+q-1} \times \dfrac{q-2}[p+q-2} \times \cdots  \times \dfrac{q-(k-2)}[p+q-(k-2)}

puis tirer une blanche

\dfrac{p}[p+q-(k-1)}

et on fait le produit de tout ça...

Posté par
matheuxmatou
re : urne contenant des boules 18-03-21 à 11:33

fais un aperçu bon sang

matheuxmatou @ 18-03-2021 à 11:32

flight
il n'y a aucune raison de parler de la place des boules noires... elles sont toutes équivalentes... on ne s'intéresse qu'à la couleur des boules.

tirer déjà (k-1) boules noires :

\dfrac{q}{p+q} \times \dfrac{q-1}{p+q-1} \times \dfrac{q-2}{p+q-2} \times \cdots  \times \dfrac{q-(k-2)}{p+q-(k-2)}

puis tirer une blanche

\dfrac{p}{p+q-(k-1)}

et on fait le produit de tout ça...


c'est une arborescence simple...

Posté par
flight
re : urne contenant des boules 18-03-21 à 12:27

c'est pas grave ...ca donne la meme chose



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