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Urnes...

Posté par liloue30 (invité) 15-02-05 à 10:18

J'ai besoin de votre aide pr cet exercice, svp aidé moi :

On considère une urne blanche contenant 2 boules vertes et une boule rouge, une urne rouge contenant une boule blanche et 2 boules vertes et une urne verte contenant une boule blanche et une obule rouge.

1/ On choisit une urne au hasard et on y prend une boule o hasard. On note b1 (resp r1 et v1 ) la probabilité d'obtenir une boule blanche (resp. rouge, verte ) .  
Calculer b1, r1, v1

2/ On replace ds l'urne choisit la boule obtenue et, à partir de maintenant, on effectue des tirages successifs d'une boue d'une urne (avec remise ds l'urne choisie) en choisissant à chaque fois une boule o hasard ds l'urne ayant la oculeur de la boule tirée la fois précédente. On note bn (resp rn et vn )la probabilité d'obtenir une boule blanche (resp rouge et verte ) au n'ième tirage pr n> ou = 1
  - Determiner des relations de récurrence liant bn , rn , et vn à bn-1 , rn-1 et vn-1
   - EN déduire vn en fonction de vn-1 puis vn en fonction de n
   - Déterminé alors rn en fonction de n
   - Les suites (vn) (rn) et (bn) sont-elles convergentes ? Dans l'affirmative determiné leurs limites.

3/ On décide d'effectuer des tirages selon le protocole précédent  jusqu'à ce qu'on obtienne pr la premiere foi une boule rouge. On note X le nombre aléatoire de tirages ainsi effectués. Determiné la loi de X.  

Posté par
isisstruissre : Urnes... 15-02-05 à 11:28

(1) Utilise les probabilités conditionnelles. Je te fais le rouge comme exemple. J'appelle U=u l'évènement l'urne a la couleur U et B=b l'évènement l'urne B a la couleur b.

P(B=r)=P(U=b)P(B=r|U=b)+P(U=r)P(B=r|U=r)+P(U=v)P(B=r|U=v)

P(B=r)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{18}

Isis

Posté par liloue30 (invité)re : Urnes... 15-02-05 à 11:55

merci. cette question je lé comprise, c surtout à partir de la deuxieme que je bloque

Posté par
isisstruissre : Urnes... 15-02-05 à 12:15

C'est pour ça qu'on demande avec la donnée que tu donnes les parties que tu as réussi et celles qui te posent problème.

Si tu as compris le 1, tu peux appliquer la même méthode pour le 2:

r_n=P(B_n=r)=P(B_{n-1}=b)P(B_n=r|B_{n-1}=b)+P(B_{n-1}=r)P(B_n=r|B_{n-1}=r)+P(B_{n-1}=v)P(B_n=r|B_{n-1}=v)

r_n=b_{n-1}\cdot\frac{1}{3}+r_{n-1}\cdot0+v_{n-1}\cdot\frac{1}{2}

Isis

Posté par liloue30 (invité)re : Urnes... 16-02-05 à 11:33

bjr,
en continuan lexercice, je trouve
vn= ((22/9)*(-2/3)"puissance n-1" ) -2

est ce juste ?
par contre rn me pose plus de pbm
qd a la fin de l'exercice, c'est un gro trou noir...!

g beosin de votre aide. merci davance

Posté par
isisstruissre : Urnes... 16-02-05 à 18:12

J'ai pas la même chose que toi, mais ça doit être une erreur "d'initialisation" de ta part, car parmi mes nombreux brouillons avec des erreurs j'ai aussi trouvé la même équation que toi, mais comme vn ne peut converger vers une valeur négative, j'ai tout refait les calculs en détail puis j'ai vérifié mes équations avec un petit programme et un graphique. Alors voilà les détails:

(I) r_n=\frac{1}{3}b_{n-1}+\frac{1}{2}v_{n-1}
(II) v_n=\frac{2}{3}b_{n-1}+\frac{2}{3}r_{n-1}
(III) b_n=\frac{1}{3}r_{n-1}+\frac{1}{2}v_{n-1}

avec r_1=\frac{5}{18},\quad v_1=\frac{4}{9},\quad b_1=\frac{5}{18}

Il faut remarquer qu'avec ces valeurs initiales on aura r_n=b_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.

Pour trouver v_n je somme les 3 équations plus haut comme ça: -2(I)+(II)-2(III) et je trouve

v_n-2(r_n+b_n)=-2v_{n-1}

et comme r_n+b_n=1-v_n on peut récrire l'équation précédente comme ça:

v_n=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}v_{n-1}

Je pense que tu es arrivée jusqu'à là. C'est là qu'il faut faire attention au premier terme v_1 et aux puissances (n, n+1 ou n-1).

Si on a une suite définie par récurrence x_n=a+bx_{n-1} initialisé à x_1 j'ai trouvé que
x_n=a\bigsum_{i=0}^{n-2}b^i+b^{n-1}x_1
et donc
x_n=a\frac{1-b^{n-1}}{1-b}+b^{n-1}x_1

Dans notre cas précis après quelques calculs ça donne
v_n=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}(-\frac{2}{3})^{n-1}=\frac{2}{5}-\frac{3}{5}(-\frac{2}{3})^n

Maintenant pour trouver b_n et r_n c'est facile, il suffit de faire
b_n=r_n=\frac{1}{2}(1-v_n)

Pour la convergeance je pense que tu arriveras à faire. Je t'ai mis un dessin (pas très réussi, je sais) avec sur l'axe horizontal les n et sur l'axe vertical les v_n (les "x") et les b_n (les "o"). J'espère que tu comprendras.

J'ai trouvé ton problème très intéréssant, c'est pourquoi j'ai insisté malgré mes nombreuses erreurs en cours de route. Mais là je suis sûre du résultat. Je peux avoir fait tout de même des fautes en recopiant.

Isis


Urnes...

Posté par
isisstruissre : Urnes... 16-02-05 à 23:50

En relisant mon message j'ai vu que j'ai fait beaucoup trop compliqué pour trouver v_n=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}v_{n-1}. Il suffisait de regarder l'équation de départ de v_n et de remplacer b_{n-1}+r_{n-1} par 1-v_{n-1}.

Mais bon, je pense que tu avais vu ça et tu as sûrement pas fait aussi compliqué que moi!

Isis

Posté par liloue30 (invité)re : Urnes... 17-02-05 à 10:37

bonjour...

apré avoir refé, refé et encore refé mé calculs de vn en passant par les suites arithmético-géométriques, je tombe sur
vn= ((2/45)*(-2/3)"puissance n-1")+(2/5)

quant o lien pr trouver rn, je ne le comrpend tjs pa.

merci de vous intéréssé a cet exercice, car mem sil é vré kil é interéssan, jen sui a kelkes crises de nerfs dessus..!!!

Posté par
Océane Webmasterre : Urnes... 17-02-05 à 10:40

Merci d'abandonner le style sms sur le forum

Posté par
isisstruissre : Urnes... 17-02-05 à 11:08

Est-ce que ton problème est avant ou après cette étape:

\large v_n=\frac{2}{3}\bigsum_{i=0}^{n-2}(-\frac{2}{3})^i+(-\frac{2}{3})^{n-1}v_1

Puis le fait que tu aies un +2/5 au lieu de +2 est déjà un bon signe.

Puis pour le 3 tu as une idée?

Isis

Posté par liloue30 (invité)re : Urnes... 17-02-05 à 11:57

désolée pour le style sms...

je n'obtiens pas cette étape pour vn, je m'aide d'une autre suite définie par Pk=vn - x
QUant au 3, je n'y arrive pas, mais je pense que cela est dû au fait que je ne sois pas parvenue à trouver rn dans la question 2

Posté par
isisstruissre : Urnes... 17-02-05 à 12:41

Bon, j'ai été rechercher mes brouillons dans la poubelle. J'ai
v_n=\frac{2}{5}-\frac{1}{15}(-\frac{2}{3})^n
Et ceci doit nous mettre d'accord car nos expréssions sont écrites différement mais sont les mêmes.

Isis

Posté par liloue30 (invité)qu est ce que c est laborieux...!! 19-02-05 à 10:51

ohh victoire, je suis enfin parvenue à trouver v(n) !!
Mais à partir de r(n) je bloque a nouveau...  j'obtiens
r(n)= (1/3)r(n-1) - (1/30)(-2/3)"puissance n-1" + (1/5)

maos alors je ne vois pas comment je peux trouver r(n) en fonction de n.
Plus haut, dans l'une de vos réponses, vous m'avez indiquez r(n) =1/2 ( 1-v(n) )  Je ne comprends pas pourquoi...

Quant à la question 3, avez vous une idée ??

Posté par
isisstruissre : Urnes... 19-02-05 à 19:19

Simplement parce qu'on a
r_n=b_n\qquad\forall n\in\mathbb{N}.
et que v_n+r_n+b_n=1 donc v_n+2r_n=1.

Pour comprendre cette égalité remarque que r_1=b_1 et observe ensuite comment r_n et b_n se construisent. D'ailleurs on aurait pu utiliser cette propriété pour simplifier les calculs d'avant...

Isis

Posté par liloue30 (invité)Petite question bête sur la convergence d une suite 21-02-05 à 09:32

Bonjour,

J'ai une suite  v(n)=(1/30)(-2/3)"puissance n" + 3/10
Mais sachant qu'elle est alternativement croissante et décroissante, ai-je le droit de dire qu'elle est convergente ? SI oui, quels arguments puis-je donner ?

Merci

*** message déplacé ***

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Petite question bête sur la convergence d une suite 21-02-05 à 10:01

Bonjour,

D'après un théorème :
q^n a pour limite + ssi q>1
q^n a pour limite 1 ssi q =1
q^n a pour limite 0 ssi -1<q<1
q^n n'admet pas de limites ssi q<-1

Donc ici :
-1<\frac{-2}{3}<1 donc \lim_{n\to+\infty}(\frac{-2}{3})^n=0
Donc\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{30}(\frac{-2}{3})^n=0
Donc\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{30}(\frac{-2}{3})^n+\frac{3}{10}=\frac{3}{10}

A plus

*** message déplacé ***

Posté par liloue30 (invité)re : Petite question bête sur la convergence d une suite 21-02-05 à 10:12

La, je suis tout à fait d'accord. Mais avant de donner la limite, on me demande de montrer si elle est convergente (donc sans me réferrer au calcul de la limite ). C'est à ce niveau là que je bloque.





*** message déplacé ***

Posté par liloue30 (invité)besoin d une dernière aide j éspère...! 21-02-05 à 10:17

Pourriez vous m'aidez pour la question 3 svp.
Je ne sais pas si ca peut servir, mais j'ai obtenu précedemment dans l'exercice,
r(n)=(1/30)(-2/3)"puissance n" + 3/10

De plus on me demande d'écrire un programme en Pascal qui stimule cette dernière experience (le programme renvoyant à chaque exectution, la valeur de X correspondant à la réalisation de cette experience )

Merci bcp de me venir une foois de plus en aide

Posté par coconuts (invité)sujet ISC 1987 21-02-05 à 13:31

Bonjour,
bon je sais on est encore en vacance mais le DM de math pour la rentrée me pose deja quelques problèmes. Pourriez vous m'aider.

Il sagit de trois urnes : une urne blanche qui contient 2 boules vertes et une boule rouge ; une urne rouge qui contient une une boule blanche et 2 boules vertes ; et une urne verte qui contient uneboule blanche et une boule rouge.
On choisit une urne au hasard et on y prend une boule au hasard. Puis on replace dans l'urne choisie la boule obtenue et, on effectue des tirages successifs d'une boule d'une urne (aveec remise dans l'urne choisie ) en choisissant à chaque fois une boule au hasard dans l'urne ayant la couleur de la boule tirée la fois précédente.

On décide alors d'effectuer des tirages selon ce protocole jusqu'à ce que l'on obtienne pour la premiere fois une boule rouge. On note X le nombre de tirages ainsi effectués. Determiner la loi de X
Et écrire un programme en Pascal qui stimule cette experience (le programmme renverrra a chaque execution, la valeur de X correspondant à la réalisation de cette expérience )

Merci d'avance et bonne journée...

*** message déplacé ***

Posté par liloue30 (invité)re : Urnes... 23-02-05 à 16:26

bonjour...

alors pour cette question 3, je trouve au début ceci :
SOit ¤ l'unvers de cette experience
X(¤)=N*
(X=k) : on obtinent une boule rouge pour la premiere fois au kième lancer

P(X=1)=r1=5/18

C'est à partir de k>= 2 que je ne sais plus.
Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît.

merci beaucoup

Posté par liloue30 (invité)re : Urnes... 26-02-05 à 08:59

svp ne me laisser pas tomber mainenant...j'ai absolument besoin de votre aide

Posté par
isisstruissre : Urnes... 26-02-05 à 09:46

P(X=k)=(1-r_1)(1-r_2)\ldots\(1-r_{k-1})r_k

Parcontre je ne sais pas comment simplifier tout ceci. Si on suppose que r_k=\frac{3}{10}\quad\forall k\in\mathbb{N}^* (ce qui est sa limite), alors X serait une variable aléatoire géométrique. Mais ici ce n'est pas tout à fait le cas. Il faut voir si cette expréssion se simplifie avec les valeurs de r_k, mais je n'ai pas d'idée.

Isis

Posté par
franzre : Urnes... 26-02-05 à 11:54

Bonjour,

je me permets d'intervenir dans un problème où Isis a déjà apporté une contribution remaquable.


Tirer pour la première fois une boule rouge au k° tirage, cela veut dire
*  n'effectuer des tirages que dans les urnes verte et blanche entre le 2° et le k° tirage et
* à chaque tirage du 1° au (k-1)° tirer une boule verte lorsque l'on tire dans l'urne blanche et tirer une boule blanche lorsqu'on tire dans l'une verte.
* tirer une boule rouge au k° tirage.

je vais adopter les notations suivantes
R_i (resp B_i,V_i)= la boule obtenue au i° tirage est rouge (resp blanche, verte) .

                 \LARGE p(X=1)= \frac 5 {18}


p(X=2n)=p\(\,\(V_1 \cap B_2 \cap V_3 \cap B_4 \cap \cdots \cap V_{2n-1} \cap R_{2n}\)\; {\LARGE \cup}\; \(B_1 \cap V_2 \cap B_3 \cap B_4 \cap \cdots \cap B_{2n-1} \cap R_{2n}\)\, \)

p\(V_1 \cap B_2 \cap V_3 \cap B_4 \cap \cdots \cap V_{2n-1} \cap R_{2n}\) = \frac 4 9 \, \frac 1 2 \, \frac 2 3\, \frac 1 2 \, \frac 2 3\, \cdots \, \frac 2 3\; \Large \frac 1 2 = \frac 4 9 \, \(\frac 1 3\)^{n-1}\,\frac 1 2 = 2 \(\frac 1 3 \)^{n+1}

p\(B_1 \cap V_2 \cap B_3 \cap B_4 \cap \cdots \cap B_{2n-1} \cap R_{2n}\) = \frac 5 {18} \, \frac 2 3 \, \frac 1 2 \, \frac 2 3\, \frac 1 2 \, \cdots \, \frac 1 2 \; \Large \frac 1 3 = \frac 5 {18} \,\(\frac 1 3\)^{n-1}\,\frac 1 3 = \frac 5 6 \(\frac 1 3 \)^{n+1}

                 \LARGE p(X=2n)=\frac {17}6 \(\frac 1 3 \)^{n+1}


de même pour \LARGE n\in {\mathbb N}^*
p(X=2n+1)=p\(\,\(V_1 \cap B_2 \cap V_3 \cap B_4 \cap \cdots \cap B_{2n} \cap R_{2n+1}\)\; {\LARGE \cup}\; \(B_1 \cap V_2 \cap B_3 \cap B_4 \cap \cdots \cap V_{2n} \cap R_{2n+1}\)\, \)=\large \frac 2 3 \(\frac 1 3 \)^{n+1}+\frac 5 6 \(\frac 1 3 \)^{n+1}

                 \LARGE p(X=2n+1)= \frac 1 2 \(\frac 1 3 \)^{n}                               (ça commence à 3 !!)


(J'ai vérifié qu'en sommant toutes les probas en gras on tombait bien sur 1)

Posté par
isisstruissre : Urnes... 26-02-05 à 12:06

Pas mal franz, j'avais pas pensé à utiliser le fait que la couleur des boules seraient alternées entre le vert et le bleu.

Merci, Isis.

Posté par
franzre : Urnes... 26-02-05 à 12:23

Je suis impressionné par la vitesse avec laquelle tu réponds.
Merci de ton petit message bien sympa.

Posté par liloue30 (invité)merciiiiiiiiiiiiiiiii 26-02-05 à 19:04

c'est vraiment trés trés gentil de m'avoir aidée...je vous remercie énormément. COntinuez d'aider les gens car je vous assure ca faittoujours trés plaisir d'avoir quelqu'un qui peut nous aider et nous sortir de grosses impasses.
Merci encore.
bonne soirée

Posté par
franzre : Urnes... 26-02-05 à 21:42

avec plaisir.


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