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utilisation de la convexité pour monotonie et convergence
Bonjour à toutes et tous,
Je sollicite votre aide pour résoudre cet exercice:
Soit x0
R.
On définit la suite (un) par u0 = x0 et, 
n N ; un+1 = Arctan(un).
1. (a) Démontrer que la suite (un) est monotone et déterminer, en fonction de la valeur de x0, le sens de variation de (un).
(b) Montrer que (un) converge et déterminer sa limite
On posera f(x)=arctan(x). Faire un dessin et utiliser la convexité de arctan
pour obtenir rapidement la monotonie de f et la que la convergence.
Je sais faire cet exercice sans utiliser la convexité en posant g(x)=f(x)-x qui est strictement décroissance sur R. Mais je ne vois pas comment faire avec la convexité.
Pourriez- vous m'aider s'il vous plaît?
Merci par avance, Bonne journée
Bonjour !
La fonction n'est pas convexe !
Si une fonction est concave, le graphe est "au-dessous" de la tangente !
Dans ton cas cela donne :
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