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Utilisation des dérivées en sciences (1ère)
Bonjour, j?ai un DM à rendre pour **** et j?ai un problème avec la fin de l?exercice ci dessous, (les questions 5 et 6) pour la question 5 pour f?(1,5) je trouve 0 et je crois bien que ce n?est pas normal ?
Du coup merci beaucoup d?avance si quelqu?un peu m?aider 
Et meilleurs v?ux pour cette nouvelle année
On étudie l'évolution du nombre de batéries dans une solution pendant 2 heures. La fonction f , définie sur [0; 2], associe au temps t (en heures) le nombre de batéries f(t) (en millions). On admet que f(t) = ?5t**3 + 15t² + 1 où t ? [0; 2].
1. Combien a-t-on de bactéries dans la solution au départ de l'observation ? et au bout d'une heure et demi ?
2. Calculer l'augmentation du nombre de bactéries entre 1,5 h et 2h.
3. Calculer alors la vitesse moyenne (en millions de bactéries par heure) d'augmentation des bactéries entre les deux instants.
4. De même, quelle est la vitesse moyenne d'augmentation des bactéries entre 1,5 h et 1,6 h ?
5. La vitesse moyenne entre les instants 1, 5 et 1, 5 + k où k ?]0; 0, 5] est dont f(1, 5 + k) ? f(1, 5)k. Cette vitesse moyenne tend donc vers le nombre dérivé f?
(1, 5) quand k tend vers 0.
Les physiciens définissent alors la vitesse instantanée d'augmentation des bactéries à l'instant 1, 5 par le nombre dérivé : f?(1, 5).
Calculer alors cette vitesse instantanée à l?instant 1,5.
6. Calculer de même la vitesse instantanée d?augmentation des bactéries à l?instant 1.
Comment pourrait-on lire cette vitesse instantanée sur la coupe de la fonction f ?
*modération > DexEli, pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*
la FAQ du forum
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présent sous la zone de saisie du message. La liste complète des caractères mathématiques est disponible dans le 
mode d'emploi du forumBonjour,
f(t) = ?5t**3 + 15t² + 1
Pourrais tu préciser l'expression de f(t) ?
Bonjour,
f(t) = -5t^^3+15t^^2+1 s'exprime en nombres de bactéries par millions
Suite
Prends l'habitude de visionner en mode Aperçu, le message que tu t'apprêtes à envoyer. Tu pourras ainsi repérer et donc corriger avant de Poster, les anomalies d'affichage présentes dans ton message.
Il y a en plus de ce point d'interrogation gênant dans la définition de f(t), plusieurs autres endroits où des points d'interrogation (ou absence de caractères) rendent la compréhension de ton énoncé.... difficile.
est dont f(1, 5 + k) ? f(1, 5)k
Tu devrais aussi nous montrer au moins les réponses aux questions que tu as su traiter.
On serait sûr ainsi de partir sur des bases saines.
f(t) = -5t^^3+15t^^2+1
f(t) = -5t³+15t²+1 c'est mieux
Sous la fenêtre où tu écris, il y a des "outils" fort pratiques dont l'un est x² ; ce bouton permet de poser des balises autour du ou des caractères que tu veux mettre en exposant. Passer en mode Aperçu pour voir le résultat....
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Prends l'habitude de visionner en mode Aperçu, le message que tu t'apprêtes à envoyer. Tu pourras ainsi repérer et donc corriger avant de Poster, les anomalies d'affichage présentes dans ton message.
Il y a en plus de ce point d'interrogation gênant dans la définition de f(t), plusieurs autres endroits où des points d'interrogation (ou absence de caractères) rendent la compréhension de ton énoncé.... difficile.
est dont f(1, 5 + k) ? f(1, 5)k
Tu devrais aussi nous montrer au moins les réponses aux questions que tu as su traiter.
On serait sûr ainsi de partir sur des bases saines.
Excuser moi, c'est la première fois que j'utilise ce site, du coup j'ai un peu de mal à tout bien faire...
Du coup voici une photo de l'énoncé comme ça il n'y aura plus de problème d'écriture
et voici mes réponses : 1. il y a 1 million de bactéries au départ de l'observation et au bout d'une heure 30 il y en a 17,875millions
2. Il y a une augmentation de 3.125millions de bactéries
3. La vitesse est de 6.25 millions de bactéries par heures
4. La vitesse moyenne de augmentation des bactéries entre 1,5h et 1,6h est de 10.45 millions de bactéries par heures.
***l'image de contrôle d'énoncé déjà recopié va être autorisée exceptionnellement***
Je pense que la modératrice de ce site va te signifier qu'il est interdit de mettre du texte scanné en pièce jointe. Seules les figures sont autorisées...
Mais comme tu es nouveau et que tu avais déjà recopié ton énoncé, on te pardonnera.
As tu essayé de faire la représentation graphique de f ? avec ta calculatrice ? geogebra ? tableur ? Cela ne t'est pas demandé mais cela permet de VERIFIER tes réponses...
Question 1) nous sommes d'accord. Je regarde tes autres réponses et je reviens.
Sais tu calculer "directement" la fonction dérivée de f ?
Ah mince... merci beaucoup de me prévenir !
Pour ce qu'il en est de tracer la fonction sur ma calculatrice, oui je l'ai fais et pour l'instant je trouve des résultats cohérents avec mes réponses précédentes
Et je ne comprends pas bien lorsque vous me demandez si je sais calculer directement la fonction dérivée de f... mais je sais dériver une fonction grâce aux dérivés de fonction si c'est ça votre question. Mais en crois que mon prof veut que l'on répond à la question 5 avec la limite.
suite
questions 2 et 3 : enlève le "s" à heure à la question 3 et ce sera parfait
OK pour la 4 (là aussi le "s" est... un contresens)
Pour la 5, ton début de calcul (sous le scan de l'énoncé ) est un bon départ...
Calcule le quotient ; le résultat est une expression dépendant de k.
Il suffit alors de comprendre comment évolue cette expression quand k tend vers 0.
Essaye. Et dis ce que tu trouves.
Je dois m'absenter environ une heure.
J'avais fais f(1,5+k) = -5k^^3+15k^^2+17,875
f(1,5)= 17,875
Et donc ça me donnait f'(1,5)= (-5k^^3+15^^2)/k
Mais du coup quand k tend vers 0 ça fait 0 ?? 🤔
Du coup je ne comprends pas trop...
suite
questions 2 et 3 : enlève le "s" à heure à la question 3 et ce sera parfait
OK pour la 4 (là aussi le "s" est... un contresens)
Pour la 5, ton début de calcul (sous le scan de l'énoncé
) est un bon départ...
Calcule le quotient ; le résultat est une expression dépendant de k.
Il suffit alors de comprendre comment évolue cette expression quand k tend vers 0.
Essaye. Et dis ce que tu trouves.
Je dois m'absenter environ une heure.
J'avais fais f(1,5+k) = -5k^^3+15k^^2+17,875
f(1,5)= 17,875
Et donc ça me donnait f'(1,5)= (-5k^^3+15^^2)/k
Mais du coup quand k tend vers 0 ça fait 0 ?? 🤔
Du coup je ne comprends pas trop...
ça me donnait f'(1,5)= (-5k^^3+15^^2)/k
Mais du coup quand k tend vers 0 ça fait 0 ??
Non. Tu oublies qu'il y a un dénominateur (k). Simplifie ce quotient en divisant le numérateur et le dénominateur par k (
0)... et cela change tout .
Avec Latex :
NB : le signe opératoire d'élévation à une puissance est ^ (un seul suffit !)
f'(1,5)= (-5k^3+15^2)/k
A la rigueur si tu es nourri au Python, on peut imaginer ** (et là on en met 2 !!)
ça me donnait f'(1,5)= (-5k^^3+15^^2)/k
Mais du coup quand k tend vers 0 ça fait 0 ??
Non. Tu oublies qu'il y a un dénominateur (k). Simplifie ce quotient en divisant le numérateur et le dénominateur par k (
0)... et cela change tout .
Avec Latex :
NB : le signe opératoire d'élévation à une puissance est ^ (un seul suffit !)
f'(1,5)= (-5k^3+15^2)/k
A la rigueur si tu es nourri au Python, on peut imaginer ** (et là on en met 2 !!)
Ah merci beaucoup pour les puissance
Mais du coup si je simplifie j'ai-5k^2+15k
Mais aussi dans la question 5 on me dit de faire la limite quand h tend vers 0
Du coup je ne comprends toujours pas...
Mets mon précédent message à la... poubelle !
J'ai répondu trop vite sans vérifier TON calcul qui est ... faux !!
Connais tu le développement de (a+b)³ et (a+b)² ??
Refais ton calcul...
(1,5+k)² n'est pas égal à ce que tu as écrit....
idem pour (1,5+k)³
Si tu développes cela correctement (c'est un peu long et fastidieux surtout quand on sait faire autrement en écrivant "directement" la dérivée de f(t)...), on aboutit à une expression dépendant de k....
Il suffit alors comme je te l'ai déjà dit de faire tendre k vers 0.
On obtient alors la valeur de f '(1,5) 
Alors où en es-tu ?
Rappels :
(a+b)² = a²+2ab +b² (et surtout pas a²+b² 
)
(a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b³ (et surtout pas a³+b³ )
f(1,5+k) = -5(1,5+k)³+15(1,5+k)²+1
= -5 [1,5³ +3*1,5²*k +3*1,5*k²+k³] +15 [1,5²+2*1,5*k+k²] +1
= -16,875 - 33,75k - 22,5 k² -5k³ + 33,75 +45k + 15k² +1
= -17,875 +11.25k-7,5k²-5k³
Tu as déjà trouvé :
f(1,5) = 17,875
à vérifier bien sûr 
Quand k tend vers 0, alors 7,5k ....... et 5k².......
Désolée de répondre seulement maintenant...
Donc j'ai refais les calculs pour f(1.5+h) j'ai trouvé k^3-15/2k^2+143/8
f(1.5) = 17.875
Soit f'(1.5) = -6.5k^2
😪 donc il y a toujours une erreur quelque part...
En essayant de refaire f(1.5+k) mais cette fois ci plutôt que de faire (a+b)³ j'ai fais 3×(1.5+k)² pour au final trouver-15k²+30k+12,25
Et f'(1,5) = -15k+24,375
Mais le problème c'est que c'est bien différent de 17,875...
Car on est bien d'accord quand k tend vers 0 je suis sensé trouvé un nombre proche de f(1,5) ?
1) dans mon message de 19h 19, (l'as tu lu ??) je t'ai détaillé le calcul et donné les résultats... si tu n'en tiens pas compte
2)
plutôt que de faire (a+b)³ j'ai fais 3×(1.5+k)²
Pour toi a³ serait égal à 3a² ??? fichtre : je n'ose comprendre....
3)
quand k tend vers 0 je suis sensé trouvé un nombre proche de f(1,5)
Pourquoi cela ? f '(1,5) n'est pas une valeur approchée de f(1,5)
1) dans mon message de 19h 19, (l'as tu lu ??) je t'ai détaillé le calcul et donné les résultats... si tu n'en tiens pas compte
2)
plutôt que de faire (a+b)³ j'ai fais 3×(1.5+k)²
Pour toi a³ serait égal à 3a² ??? fichtre : je n'ose comprendre....
Bah si j'utilise les formules de dérivée ?...
3)
quand k tend vers 0 je suis sensé trouvé un nombre proche de f(1,5)
Pourquoi cela ? f '(1,5) n'est pas une valeur approchée de f(1,5)
C'est ça que je ne comprends pas... à quoi correspond f'(1,5) ? Parce que si k tend vers 0 a quoi cela doit se rapprocher ?...
à quoi correspond f'(1,5) ? Parce que si k tend vers 0 a quoi cela doit se rapprocher ?
Cela c'est du COURS !!
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f et A(xA;f(xA)) et B(xB;f(xB)) deux points de cette courbe.
Quand le point B se rapproche de A, la droite sécante (AB) dont le coefficient directeur est : [f(xB)-f(xA)] /(xB-xA), se "rapproche" d'une droite appelée la tangente à Cf au point A. Le coefficient directeur de cette tangente est la limite quand xB tend vers xA de [f(xB)-f(xA)] /(xB-xA). Ce nombre est noté f '(xA) et est appelé de nombre dérivé de f en xA.
Donc en prenant xA= 1,5 et xB= 1,5+h... en faisant tendre h vers 0
tu dois obtenir f '(1,5) qui est le coef directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 1,5.
Si tu maitrises geogebra, trace Cf, la tangente à Cf au point d'abscisse 1,5 et regarde la valeur du coefficient de cette tangente.... elle est égale à f '(1,5) !
Ah ouiii c'est vrai merci beaucoup ! Vraiment merci beaucoup )
Et du coup si j'ai bien compris pour la 2ème question de la question 6 ce sera grâce à tangente à Cf au points d'abscisse 1 la valeur de la vitesse sera le coefficients directeur de cette tangente
Si cela peut t'aider... mais ce serait beaucoup mieux si tu faisais toi même ces figures....
As tu revu le calcul de [f(1,5+h)-f(1,5)]/h ? et maintenant tu trouves quoi ?
Je vais tout recommencer demain dès 8h enfin je vais terminer d'abord et ensuite je vais essayer de le refaire toute seule sans aide demain matin... mais en tout cas vraiment merci !
Ma réponse à ton interrogation de 21h57 est... OUI !
Bonne nuit.
NB :
si f(t) = -5t³+15t² +1 alors f '(t) = -15t² +30t (détermination directe de la dérivée)
et donc f '(1,5) = -15*(1,5)² +30*1,5 = 11,25
C'est magique 
Bonjour 👋
Du coup ça y es j'ai terminé ! Encore merci ! Et donc si je ne me trompe pas, pour la 5 j'ai mis 11,5
Pour la 6 : 15 et " On pourrait lire cette vitesse instantanément sur la courbe de la fonction f grâce au coefficient directeur de la tangente du point d'abscisse 1"
f(1,5+k) = -5(1,5+k)³+15(1,5+k)²+1
= -5 [1,5³ +3*1,5²*k +3*1,5*k²+k³] +15 [1,5²+2*1,5*k+k²] +1
= -16,875 - 33,75k - 22,5 k² -5k³ + 33,75 +45k + 15k² +1
= -17,875 +11.25k-7,5k²-5k³
Dans mes calculs je n'ai pas -17,875 mais +17,875 mais je crois que c'est bien + car après étant donné qu'on fait -f(1,5) comme ça sa s'annule
Tu as déjà trouvé :
f(1,5) = 17,875
à vérifier bien sûr
Quand k tend vers 0, alors 7,5k ....... et 5k².......
Bonjour 👋
Du coup ça y es j'ai terminé ! Encore merci ! Et donc si je ne me trompe pas, pour la 5 j'ai mis 11,5
Pour la 6 : 15 et " On pourrait lire cette vitesse instantanément sur la courbe de la fonction f grâce au coefficient directeur de la tangente du point d'abscisse 1"
En rédigeant je me suis rendu compte que ce n'est pas cette vitesse instantanément mais cette vitesse instantanée...
Et du coup si j'ai tout bien compris je ne mets pas millions de bactéries pas heures mais juste la vitesse instantanée a l'instant 1,5 est donc 11,25 millions de bactéries ?
33,75+1-16,875 =+17,875
Ta remarque est justifiée
Simple erreur de saisie de ma part sur cette ligne car tout rentre dans l'ordre dans la suite du calcul
Bonjour 👋
Du coup ça y es j'ai terminé ! Encore merci ! Et donc si je ne me trompe pas, pour la 5 j'ai mis 11,5 Toi aussi tu fais des erreurs de saisie
Pour la 6 : 15 et " On pourrait lire cette vitesse instantanément sur la courbe de la fonction f grâce au coefficient directeur de la tangente du point d'abscisse 1"
En rédigeant je me suis rendu compte que ce n'est pas cette vitesse instantanément mais cette vitesse instantanée...
Et du coup si j'ai tout bien compris je ne mets pas millions de bactéries pas heures mais juste la vitesse instantanée a l'instant 1,5 est donc 11,25 millions de bactéries ?
Tu as rectifié ici ton erreur de saisie précédente.
Mais tu n'as pas bien compris ma remarque sur l'unité de vitesse :
tu avais mis en millions de bactéries /heures avec un "s" à heure.
C'est ce "s" qu'il faut enlever mais l'unité est bien : millions de bactéries/heure.
C'est comme la vitesse d'une automobile : des kilomètres / heure = nbre de km en UNE heure.
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