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Utilisation du TAF

Posté par
Tiantio 24-11-24 à 12:28

Bonjour à tous

Exo : Soit f une fonction continue de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. On suppose que f est dérivable pour tout x\neq 0 et que \lim_{x\rightarrow 0} f'(x) = +\infty.
1. Montrer que fn'est pas dérivable en 0
2. On suppose maintenant que f est bijective de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, strictement croissante et que f(0)=0. On note g sa bijection réciproque. Montrer que g est dérivable en 0 et que g'(0)=0


1. Par absurde, je suppose que f en dérivable en 0. Alors f'(0) serait un nombre fini ce qui est en contradiction avec \lim_{x\rightarrow 0} f'(x) = +\infty

2. g'(0)= \frac{1}{f'og(0)} = \frac{1}{f'(0)} = 0

Je voudrais savoir, svp, si mon raisonnement est correct et comment montrer que g est dérivable en 0. Merci pour vos suggestions

Posté par
carpediemre : Utilisation du TAF 24-11-24 à 15:56

salut

comme exemple on peut penser à f(x) = \sqrt {|x|} ...

1/ je ne sais si c'est suffisant ... mais pour toute question de ce genre il est souvent utile (si ce n'est nécessaire) de revenir à la définition et d'étudier le taux de variation \dfrac {f(x) - f(0)} {x - 0}

ou peut-être \dfrac {f(x) - f(y)}{x - y} = \dfrac {x - 0}{x - y} \dfrac {f(x) - f(0)} {x - 0} + \dfrac {0 - y} {x - y} \dfrac {f(0) - f(y)} {0 - y}  .... ouais bof ...

bon alors avec le titre de ton post : pour tout réel x il existe c € ]0, x[ tel que : f(x) = f(0) + f'(c) (x - 0) \iff \dfrac {f(x) - f(0)} {x - 0} = f'(c)

et on fait tendre x vers 0 ...

Posté par
carpediemre : Utilisation du TAF 24-11-24 à 15:58

2/ il faut peut-être savoir quelque chose sur la dérivée de f pour pouvoir parler de 1/f'(0) ?

Posté par
Tiantiore : Utilisation du TAF 24-11-24 à 17:00

Merci pour votre réponse de la question 1, c'est bcp plus clair

Comme  \lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=0,  je me suis dit que : g'(0)=\frac{1}{f'(0)} = 0
Et pour la dérivabilité de g en 0, je suis revenu à la déf mais j'ai rien trouvé

Posté par
thetapinch27re : Utilisation du TAF 24-11-24 à 17:05

Bonjour,

Tiantio : Pour la 1/ ce raisonnement tiendrait si  f' était continue. Mais ici, rien n'est précisé, donc il manque des arguments.

Tu peux prendre l'idée de carpediem. Mais attention, le fait de faire tendre x vers 0 fait aussi tendre c vers 0 (car c dépend de x).
Prenons une suite x[n] dans ]0,1[, on arrive ainsi à écrire que :
f(x[n]) = f(0) + f'(c[n])*x[n]  (où 0<c[n]<x[n] par application du TAF)
Si x[n] -> 0 alors f'(c[n])*x[n] ->0 par continuité de f en 0, quelle que soit la suite (x[n]).
Mais, sais-tu proposer une suite (x[n]) qui tend vers 0 telle que f'(c[n])*x[n] ne tend pas vers 0 (et ainsi trouver une contradiction) ?

2/ On ne peut pas écrire g'(0) = ... sans avoir préalablement démontré que ce nombre existe.

Bonne soirée

Posté par
carpediemre : Utilisation du TAF 24-11-24 à 17:42

je ne pense pas que

thetapinch27 @ 24-11-2024 à 17:05


Tiantio : Pour la 1/ ce raisonnement tiendrait si  f' était continue. Mais ici, rien n'est précisé, donc il manque des arguments.  effectivement c'est ce que je pensais aussi

Tu peux prendre l'idée de carpediem. Mais attention, le fait de faire tendre x vers 0 fait aussi tendre c vers 0 (car c dépend de x). je n'ai pas voulu le dire pour laisser Tiantio le dire lui-même
Prenons une suite x[n] dans ]0,1[, on arrive ainsi à écrire que :
f(x[n]) = f(0) + f'(c[n])*x[n]  (où 0<c[n]<x[n] par application du TAF)
Si x[n] -> 0 alors f'(c[n])*x[n] ->0 par continuité de f en 0, quelle que soit la suite (x[n]).
Mais, sais-tu proposer une suite (x[n]) qui tend vers 0 telle que f'(c[n])*x[n] ne tend pas vers 0 (et ainsi trouver une contradiction) ?
certes mais en l'écrivant comme quotient il n'y a plus de pb car par définition le quotient tend vers f'(0) si f'(0) existe

ou encore : si ce quotient admet une limite finie quand x tend vers 0 alors c'est ce qu'on appelle f'(0)

et sinon ben ça tend vers ce vers quoi ça tend !!

Posté par
Tiantiore : Utilisation du TAF 24-11-24 à 19:34

Merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : Utilisation du TAF 24-11-24 à 20:45

de rien


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