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Niveau seconde
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Utilisation du théorème de Thales

Posté par
basset0
05-01-22 à 18:39

Bonsoir.

Alors voilà, je prends de l'avance sur mes camarades et je fais un peu de géométrie mais je bloque sur un exercice:

Soit un triangle ABC. Une droite \cal{D} parallèle à (BC) coupe (AB) en E, (AC) en F, et la parallèle à (AB) passant par C en G.
a) Démontrer que \frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}} et \frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{EF}}{\overline{EG}}.
b) Démontrer que EG=BC.
c) Déduire de a) et b) que \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}.

J'imagine bien qu'il faut utiliser le théorème de Thalès. Peut-être que je dois considérer les projections de (AB) et (AC) sur \cal{D} ? Quoi qu'il en soit, je vois mal comment justifier ma réponse.

Je ne cherche pas à avoir la réponse toute prête, simplement quelques indices et quelques tips sur la rédaction d'une réponse .

Merci pour votre aide !

Posté par
Zormuche
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 18:48

Salut, ça signifie quoi pour toi  \overline{AE}  ? Cette notation ne me dit rien

Posté par
basset0
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 18:51

Dans le livre que j'utilise \overline{AE} (AE barre) correspond à la mesure algébrique de AE : sa valeur absolue est la distance entre les points A et E.

Voici aussi la figure correspondante à cet exercice (enfin, je crois )

Utilisation du théorème de Thales

Posté par
Zormuche
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 19:13

Je ne comprends pas bien la notation

Quelle est la différence entre la valeur  AE  et  \overline{AE}  ?

Posté par
basset0
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 19:17

Voici la définition complète du livre:

On appelle mesure algébrique du bipoint (A, B), le réel noté \overline{AB} (lire "AB barre") ainsi défini:
\overline{AB} est positif lorsque, sur \Delta, A est avant B, négatif dans le cas contraire.
• Sa valeur absolue est la distance entre les points A et B, noté d(A, B), ou AB.

Posté par
larrech
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 19:25

Bonsoir,
Si je puis me permettre, ça intervient soit en mesure algébrique sur un axe orienté, soit dans les rapports,  sans qu'il soit besoin alors d'une orientation de référence.

\overline {AB}/\overline {AE}=-\overline {AB}/\overline {EA}

Posté par
larrech
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 19:48

@basset0

Il n' y a nul besoin de projeter quoique ce soit. C(est une application directe du théorème.

Pour la 1ère égalité on peut toujours imaginer une parallèle à BC passant par A et pour la seconde, une parallèle à CG passant par F.

Posté par
larrech
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 21:04

De fait, le théorème de Thalès s'écrit sans utiliser les valeurs algébriques. Mais il suffit de vérifier que les rapports ont même signe pour passer du rapport de mesures de segments au rapport de leurs mesures algébriques.

Posté par
basset0
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 21:10

Merci larrech.

Je ne suis pas certain de ce que je dois comprendre de tes réponses mais je vais me pencher dessus.

Posté par
larrech
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 21:22

Ce que je veux dire c'est que si tu enlèves les valeurs algébriques, les 2 premières égalités sont directement  le théorème lui-même.

Posté par
basset0
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 21:28

Ouiiiii ! Effectivement, je suis un peu bête !

Cependant, comment je justifie ça ? J'imagine que simplement écrire : en retirant les mesures algébriques on obtient le théorème de Thales... n'est pas trop suffisant.

Posté par
larrech
re : Utilisation du théorème de Thales 05-01-22 à 21:46

Ce qu'on peut dire (en empruntant à internet):

Quand on coupe deux droites sécantes au point A par deux droites parallèles (EF) et (BC), on obtient deux triangles ABC et AEF. Le théorème de Thalès énonce que, dans ce type de configuration, les longueurs des côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés associés de l'autre triangle, soit :

AE/AB=AF/AC

Cette égalité de rapports reste vraie en valeurs algébriques, car les points sont respectivement dans le même ordre, A, E, B, sur (AB) et A, F, C sur (AC).

De même pour etc.



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