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utiliser la récurence besoin de comprendre

Posté par johana (invité) 30-09-06 à 21:17

Bonjour tout le monde, je suis en terminal S et nous étudions actuellement la récurence, plutot simple a première vue. Je suis venue ici parce que j'ai du mal a réaliser un exercice j'espère que vous pourrez m'aider comme moi j'essaierais. l'exercice:
On pose bn=1+103n+1 +106n+2, ou n appartient a  .
Démontrer par récurrence que la propriété "bn est divisible par 111" est vrai pour tout entier naturel n.

CE QUE J'AI SU FAIRE:
-Initialisation: au rang 0, 1+10010+1001010=111
Donc Po vrai car 111 divisible par 111

Mais là ça se complique pour la transmissibilité j'essaie depuis la semaine dernière, bon je sais qu'il faut faire apparaitre un réel k montrant que bn divisible par 111
Or avec toutes ces puissances je me mèle les pinceaux

J'ai donc commencé a dire: Supposons que bn est divisible par 111 pour tout entier naturel n. Il existe donc un entier k tel que 1+103n+1+106n+2=111k
Estce correcte de dire qu'on a alors:1+103n+2+106n+3???
Ou faut il dire :1+103(n+1)+1+106(n+1)+2????
La deuxième solution serait la plus judicieuse selon moi mais je n'arrive pas a calculer, serait il possible de me montrer les étapes de la bonne  démarche point par point  ainsi que la solution s'il vous plait??
Le pire c'est que je suis certaine de trouver mais tous ces puissances me gène merci a tous ceux qui auront eu le courage de lire jusqua la fin ce blog, je ne sais pas si vous pourrez mais expliqué moi cette exercice avant lundi svp

Posté par johana (invité)récurrence:mission absoluement réussir cette exercice pourLundi! 30-09-06 à 21:20

Bonjour tout le monde, je suis en terminal S et nous étudions actuellement la récurence, plutot simple a première vue. Je suis venue ici parce que j'ai du mal a réaliser un exercice j'espère que vous pourrez m'aider comme moi j'essaierais. l'exercice:
On pose bn=1+103n+1 +106n+2, ou n appartient a  .
Démontrer par récurrence que la propriété "bn est divisible par 111" est vrai pour tout entier naturel n.

CE QUE J'AI SU FAIRE:
-Initialisation: au rang 0, 1+10010+1001010=111
Donc Po vrai car 111 divisible par 111

Mais là ça se complique pour la transmissibilité j'essaie depuis la semaine dernière, bon je sais qu'il faut faire apparaitre un réel k montrant que bn divisible par 111
Or avec toutes ces puissances je me mèle les pinceaux

J'ai donc commencé a dire: Supposons que bn est divisible par 111 pour tout entier naturel n. Il existe donc un entier k tel que 1+103n+1+106n+2=111k
Estce correcte de dire qu'on a alors:1+103n+2+106n+3???
Ou faut il dire :1+103(n+1)+1+106(n+1)+2????
La deuxième solution serait la plus judicieuse selon moi mais je n'arrive pas a calculer, serait il possible de me montrer les étapes de la bonne  démarche point par point  ainsi que la solution s'il vous plait??
Le pire c'est que je suis certaine de trouver mais tous ces puissances me gène merci a tous ceux qui auront eu le courage de lire jusqua la fin ce blog, je ne sais pas si vous pourrez mais expliqué moi cette exercice avant lundi svp

*** message déplacé ***

Posté par
Nightmarere : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 30-09-06 à 21:23

Bonsoir

3$\rm 1+10^{3(n+1)+1}+10^{6(n+1)+2}=1+1000\times 10^{3n+1}+10^{6}\times10^{6n+2}
Or modulo 111 :
3$\rm 1000\equiv 10^{6}\equiv 1[111]
Finalement :
1+1000\times 10^{3n+1}+10^{6}\times10^{6n+2}\equiv 1+10^{3n+1}+10^{6n+2}\equiv 0[111]

Posté par
Skopsre : 30-09-06 à 21:25

Bonjour,

1/ Initialisation au rang 0

2/ En admettant que 3$b_n est vraie, montrer que 3$b_{n+1} est vraie.

Je ne vois pas comment tu peux dire qu'à partir de 1+103n+1+106n+2=111k, 1+103n+2+106n+3

Tu peux dire que 3$b_{n+1}=103^{n+2}+106^{n+3}+1

Et tu essaies de continuer

Skops

*** message déplacé ***

Posté par johana (invité)re : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 30-09-06 à 21:45

merci nigt mare d'avoir répondu si vite or j'ai quelques questions
1) que signifie   je n'ai pas encor utilisé ce signe
logiquement ce ne pourait ètre une égalité puisque 1000106

2) 1+103(n+1)+1+106(n+1)+2=1+10103n+1+102106n+1

3) en gros c'est cette  formule que je ne comprends pas:
          10001061

Posté par johana (invité)re : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 30-09-06 à 21:46

faute de frappe a la dernière ligne
10001061(111)

Posté par
Nightmarere : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 30-09-06 à 21:51

Hum ce n'est pas grave, on peut raisonner autrement :

3$\rm 1000=9\times 111+1
3$\rm 10^{6}=(9\times 111+1)\times 1000=9000\times 111+1000=9009\times 111+1

Finalement

3$\rm 1+10^{3}.10^{3n+1}+10^{6}.10^{6n+2}=1+(9\times 111+1)10^{3n+1}+(9009\times 111+1)10^{6n+2}\\=1+10^{3n+1}+10^{6n+2}+111\times (9\times 10^{3n+1}+9009\times 10^{6n+2})

Or par hypothèse 3$\rm 111|1+10^{3n+1}+10^{6n+2} et de plus 3$\rm 111|111\times (9\times 10^{3n+1}+9009\times 10^{6n+2})
Par conséquent 111 divise la somme. CQFD

Posté par johana (invité)re : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 30-09-06 à 22:07

ha daccor je commence a comprendre!!!
     103103n+1=103(n+1)+1
                      
Or 103(n+1)+1= 10(3n+3)+1

c'est a dire  que c'est égale a 103
103n+1

Oui c'est ça!! olalla mercie beaucoup!!!

Posté par
Nightmarere : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 30-09-06 à 22:30

De rien

Posté par johana (invité)re : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 01-10-06 à 18:34

re bonjour je suis perplexe, je sais que l'exercice est exacte mais j'ai quand mème des soucis, ne devais je pas par hasard dans les calculs mettre le réel K?, enfin, inclure k dans les calculs???
Les correcteurs accepteront ils ce fait?

je pose toutes ces questions, car lors de mes calculs j'ai toujours fais en sorte de mettre le k, je sais je me complique la tache, j'espère que vous comprendrez.
Mais je suis perfectionniste
Merci de m'envoyer au plus vite la réponse

Posté par
Tekashire : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 12-10-21 à 06:35

a\equiv r [b]
1) n=0

2) division euclidienne
★ 10⁶ par 111 reste 1 : 10⁶ \equiv 1 [111]
10⁶n+² => 100[111]

★10³ par 111 reste 1 : 10³ \equiv 1[111]=>10³n \equiv 1[111]
10³n+¹ = 10[111]


10⁶n+² \equiv 100[111]
10³n+¹ \equiv 10[111]
___________________________
10⁶n+² +10³n+¹ \equiv 110[111]
                               1 \equiv 1[111]


10⁶n+²+10³n+¹ \equiv 111[111]

10⁶n+² +10³n+¹ +1 \equiv 0[111]

Posté par
malou Webmasterre : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 12-10-21 à 08:22

bonjour Tekashi et bienvenue

je n'ai pas lu mais as-tu vu que ce sujet avait 15 ans...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : utiliser la récurence besoin de comprendre avant lundi 12-10-21 à 08:56

Bonjour Tekashi,
J'ai lu
Deux remarques :

Il faut faire "Aperçu" avant de poster. Tes "\equiv" sont peu agréables.

Une solution simple sans congruence a été donnée auparavant (le 30/09/2006 à 21h51).
Si on accepte d'utiliser des congruences, la récurrence devient inutile.
Utiliser 1n = 1 suffit pour conclure.

Posté par
Tekashire : utiliser la récurence besoin de comprendre 12-10-21 à 12:22

\equiv est égal à \equiv


Posté par
Sylvieg Moderateurre : utiliser la récurence besoin de comprendre 12-10-21 à 12:27

Ma première remarque n'a pas vraiment porté ses fruits ...


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