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Niveau seconde
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utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de f(x).

Posté par
mathchim
17-06-18 à 15:04

Bonjour,

sur le graphique sont tracées une droite d et la parabole représentant la fonction f définie sur \math{R} par
f(x) = 3 -x²  .

1. (a) Résoudre l'équation f(x) = 0.
(b) Utiliser le graphique pour en déduire le tableau de signes de f(x).

2. (a) Déterminer la fonction affine représentée par d.
(b) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) > g(x)

3. (a) Prouver que f(x) > g(x) = -x²  + x + 2 > 0.
(b) Vérifier que (x + 1)( 2 - x) = -x²  + x +2
(c) Résoudre alors l'inéquation f(x) > g(x) .


utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de f(x).

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 15:05

1-(a)

f(x) = 0
3 - x²  = 0
-x²  + 3 = 0
identité remarquable.
\left(x +\sqrt{3} \right)\left(x - \sqrt{3}\right)


L'inéquation 3 - x²  = 0 est nulle si et seulement si

\left(x +\sqrt{3} \right)=0 ou bien \left(x -\sqrt{3} \right)=0.

1-(b) utiliser le graphique pour en déduire le tableau de signes de f(x).

par lecture graphique
- je trace la parabole représentant y = 3 - x²
- je la coupe avec l'axe des abscisses, ( je la coupe avec la droite d'équation y = 0)

Posté par
malou Webmaster
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 15:15

bonjour mathchim
OK pour les 2 solutions
quel est le signe de f(x) au regard de la courbe et de ta 1re question ?
à quoi vois-tu si c'est positif, nul ou négatif ?

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 15:15

salut

quelle triste rédaction ...

je note r(x) la racine carré de x

f(x) = 0 <=> 3 - x^2 = 0 <=> x^2 - 3 = 0 <=> [x - r(3)][x + r(3)] = 0 <=> x - r(3) = 0 ou x + r(3) = 0 <=> x = r(3) ou x = - r(3)

Citation :
par lecture graphique
- je trace la parabole représentant y = 3 - x²
- je la coupe avec l'axe des abscisses, ( je la coupe avec la droite d'équation y = 0)
tu as déjà le graphique !!! il suffit de le regarder pour voir !!!

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 16:01

bonjour Carpe diem

quand je rends un devoir, j'écris :

3 - x ² = 0
- x² + 3 = 0
(x+ \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0

j'indique avec une phrase : l'inéquation 3 - x² + 0 est nulle si et seulement si

(x + \sqrt{3}) ou (x - \sqrt{3})

S = -\sqrt{3};\sqrt{3}

et mon prof me compte bon...

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 16:02

est -- il préférable de faire une ligne  ??

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 16:14

Citation :
l'inéquation 3 - x² + 0 est nulle
ça ne veut rien dire

un nombre est nul ou non

une inéquation inégalité est vraie ou fausse


on peut toujours faire comme je l'ai fait en ligne
éventuellement lors d'une étape "difficile" il peut être judicieux de retourner à la ligne pour que ce soit plus lisible (ou toute raison qui te permet d'être efficace) ou pour ne pas écrire l'inéquation en deux morceaux sur deux lignes


mathchim @ 17-06-2018 à 16:01

bonjour Carpe diem

quand je rends un devoir, j'écris :

3 - x ² = 0
- x² + 3 = 0
(x+ \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0        jesque là ok

j'indique avec une phrase : l'inéquation 3 - x² + 0 est nulle si et seulement si

(x + \sqrt{3}) ou (x - \sqrt{3})     n'a pas de sens il n'y a pas de verbe

S = -\sqrt{3};\sqrt{3}      n'a pas de sens qui est S ? et incompréhensible à droite du =

et mon prof me compte bon...


voir mes remarques au-dessus ... et pour compléter : il est toujours préférable de conclure en français par :

les solutions de l'équation f(x) = 0 sont -r(3) et r(3)

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 16:31

3 - x² + 0
la seule explication est : ne pas avoir appuyer sur shift pour faire le signe égal
sur mon clavier - - > une seule touche pour le signe égal et le signe +
Toutes mes excuses...
évidement, il s'agit de 3 - x² = 0

f(x) = 0
3 - x² = 0
-x²+ 3 = 0

éventuellement, je précise que j'utilise l'Identité remarquable a² + b² = (a+b) (a-b) si mon professeur  l'exige, en général, il ne nous le demande pas ( mais dans ma tête, je me répète cette phrase.... )

\left(x + \sqrt{3} \right)\left( x-\sqrt{3}\right) = 0

dans ma copie, et bien je fait toujours une phrase :

l'inéquation 3 - x² = 0 est nulle si et seulement si (x + \sqrt{3}) = 0 ou  (x - \sqrt{3})=0

Par conséquent, les solutions sont S = {-\sqrt{3};\sqrt{3}}

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 16:32

et avec le Latex, je n'arrive pas à mettre les accolades..
je cherche..

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 16:46

une accolade est un "mot" du langage latex donc pour l'utiliser dans latex il faut le précéder du slash : ainsi \{ fait apparaître l'accolade dans latex

si ton prof accepte

Citation :
l'inéquation 3 - x² = 0 est nulle si et seulement si ...
alors ton prof est un bon à rien mauvais en tout ...

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 17:06

oK

f(x) = 0

3 - x² = 0
-x² + 3 = 0
x² - 3 = 0
(x +\sqrt{3}) (x - \sqrt{3}) = 0

(x + \sqrt{3}) = 0 ou (x - \sqrt{3}) = 0

et je ne met pas la phrase : L'équation 3 - x² = 0 est nulle si et seulement si (x + \sqrt{3}) = 0 ou (x - \sqrt{3}) = 0
ça, je ne le met plus à partir de maintenant

je poursuis avec cette ligne :

x = \sqrt{3} et x = -\sqrt{3}

puis, cette phrase  (pour conclure ) : Les solutions de l'équation 3 - x²  = 0 sont \sqrt{3} et -\sqrt{3}

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 17:30

tout à fait ... mais avec un ou à l'avant dernière ligne ...

mathchim @ 17-06-2018 à 17:06

f(x) = 0
3 - x² = 0
-x² + 3 = 0    éventuellement on peut se passer de cette étape élémentaire
x² - 3 = 0
(x +\sqrt{3}) (x - \sqrt{3}) = 0
(x + \sqrt{3}) = 0 ou (x - \sqrt{3}) = 0
x = \sqrt{3} ou x = -\sqrt{3}

Les solutions de l'équation 3 - x²  = 0 sont \sqrt{3} et -\sqrt{3}
parfait ...

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 17:40

oK
arrivé à cette étape

x = \sqrt{3} ou x = - \sqrt{3}

éventuellement, je peux dire ( dans ma tête) l'équation 3 - x² = 0 est nulle si et seulement si x + \sqrt{3} = 0 ou  si  x - \sqrt{3} = 0
mais ça, je ne dois pas l'écrire dans la copie

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 17:42

le but est d'indiquer que l'on obtient les abscisse de deux points de la parabole ayant la même ordonnée.

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 17:52

pour la question 1 _ (b)
Utiliser le graphique pour en déduire le tableau de signe de  f(x)

Par lecture graphique

3-x² < 0 pour des valeurs comprises entre ]\infty;-\sqrt{3}] U [\sqrt{3}.+\infty[
3 -x² > 0 pour les valeurs comprises entre [-\sqrt{3} ; \sqrt{3}]

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 18:00

\begin{array} {|c|cccccccccccc|} x & -\infty & & -\sqrt{3}& & \sqrt{3} & & & & & & +\infty & \\ \left(x + \sqrt{3} \right) & & - & 0 & + & & +& & & & & & \\ \left(x - \sqrt{3} \right)& &- & & -& 0& +& & & & & & \\ \left(x +\sqrt{3} \right)\left(x - \sqrt{3} \right)& &+ &0 & -& 0& +& & & & & & \end{array}

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 18:10

Bonjour
carpediem semble déconnecté.  Je dirais :

Par lecture graphique

3-x²  0 pour des les valeurs comprises entre de x appartenant à]\infty;-\sqrt{3}] U [\sqrt{3}.+\infty[

Attention à faire la différence entre < et

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 18:10

le tableau n'est pas nécessaire !! le dire en français est largement suffisant dans un cas aussi simple (et à nouveau sanctionner serait stupide : il est important de savoir et apprendre à s'exprimer en français)

(tu aurais dix cas différents je te dirais bien sur de faire un tableau mais ici il n'y a que deux cas)

attention à mettre des inégalités larges ... puisque tu fermes les intervalles ... (ce qu'ils faut toujours faire ... sauf quand ce n'est pas possible (par exemple valeur interdite))

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 19:37

Bonsoir à tous les deux

entièrement d'accord, le tableau de signes n'est pas nécessaire
il y a deux cas, soit :
3 - x² \leqslant 0
3 - x² \geqslant 0
mais alors pourquoi cette question ??
(b) Utiliser le graphique pour en déduire le tableau de signe pour f(x)

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 19:41

Étudier le signe de f(x) c'est déterminer

sur quel ensemble f(x) < 0
sur quel ensemble f(x) = 0
sur quel ensemble f(x) > 0

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 19:44

On peut répondre à ces questions soir par calcul soit, de façon moins rigoureuse, fraphiquement.

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 19:47

cocolaricotte @ 17-06-2018 à 19:41

Étudier le signe de f(x) c'est déterminer

sur quel ensemble f(x) < 0
sur quel ensemble f(x) = 0
sur quel ensemble f(x) > 0
qu'on peut résumer en
cocolaricotte @ 17-06-2018 à 19:41

Étudier le signe de f(x) c'est déterminer

sur quel ensemble f(x) 0
sur quel ensemble f(x) 0
puisque 0 est positif et négatif

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 19:55

Certes

L'ensemble des solutions de : trouver les reels tels que f(x) = 0
est l'intersection des ensembles des solutions des 2 inéquations
1) trouver l'ensemble des reels x tels que f(x) 0
2) idem avec f(x) 0

Mais bon tout est permis. A chacun de savoir ce qu'il cherche et veut comprendre.

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 20:20

j'ai pas tout compris ....

sur quel ensemble f(x) \leqslant 0
ce sont les valeurs de x appartenant à ]-\infty; -\sqrt{3}] U [\sqrt{3}.+\infty[
comprenant les valeurs -\sqrt{3} et \sqrt{3}

sur quel ensemble f(x) \geqslant0
ce sont les valeurs de x appartenant à  [-\sqrt{3};\sqrt{3}]
donc avec les valeurs \sqrt{3} et -\sqrt{3}

sur quel ensemble f(x) < 0
ce sont les valeurs de x appartenant à ]-\infty; -\sqrt{3}[ U ]\sqrt{3}.+\infty[
c'est à dire sans les valeurs -\sqrt{3} et \sqrt{3}

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 20:21

0 est positif et négatif
je ne comprends pas
Peux tu m'expliquer ?

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 20:50

ben c'est la définition d'un nombre nul : un nombre est nul lorsqu'il est positif et négatif ...

post de 19h37 : tu sais lorsque f(x) est nul

mais la nullité de certaine valeur ne te donne pas le signe ailleurs c'est pour cela que tu as besoin du graphique

regarde ta fonction f(x) = 3 - x^2 et la fonction g(x) = 2x^2 - 6

elles s'annulent aux mêmes endroits mais elles n'ont pas le même signe ...


post de 18h10 : cocolaricotte te reprend sur la rédaction ... qui ne va pas (pb de français)

post de 20h20 : oui il faut faire attention aux crochets suivant que tu as une inégalité large ou stricte ... et ça n'allait pas à 17h52

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:11

O est nul parce qu'il est positif et négatif
c'est ça ?

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:23

Tu passes à la question suivante.

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:30

oK
(a) Déterminer la fonction affine représentée par d.
(b) Résoudre  graphiquement f(x) > g(x).


f est affine donc il existe deux réels a et b tel que y = ax+ b

par lecture graphique g(-1) = 2 et g(1)= 0.

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:36

Donc l'expression de g(x) est ?

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:44

a = \frac{g(1)-g(-1)}{1 - (-1)}\Leftrightarrow \frac{0-2}{1+1} = -1

Ainsi  : a =  -1 donc g(x) = - x + b. Or  g(-1) = 2 d'où -1. (-1) + b = 2 <=> 2 b = 2 -1

g est la fonction définie par g(x) = -x + 1

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:46

Parfait

Tu continues

Posté par
carpediem
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:50

une autre façon de faire :

g(1) = 0 => g(x) = a(x - 1)

g(-1) = 2 => a = ...

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:52

carpediem @ 17-06-2018 à 21:50

une autre façon de faire :

g(1) = 0 => g(x) = a(x - 1)

g(-1) = 2 => a = ...


Solution incompréhensible en seconde !  

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:53

oui, incompréhensible
mais je vais essayer de comprendre ...

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:55

je fait S l'an prochain
on le voit en S

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 21:58

On le voit en 1êre S , ES et il me semble dans d'autres sections comme les sections technologiques

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:02

explique  moi

on part de : g(x) = a x + b

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:05

Pas du tout

On applique un théorème qui dit que si un polynôme s'annule pour x=m , alors le polynôme est factorisable par (x-m)

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:18

ok , je continue ( je verrais cela après...)

résoudre graphiquement f(x)  > g(x)

-x + 1 > 0
-(x - 1) < 0
-x + 1 < 1
x>1
Donc g(x) est du signe de a , c'est à dire g(x) < 0

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:19

g(x) > 0 avant x = 1

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:23

f(x) = g(x) aura des solutions lorsque g(x) sera positif, c'est à dire pour x > 1

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:25

Quelles sont les questions ?

2. (a) Déterminer la fonction affine représentée par d.
Réponse g(x) = -x + 1 ..... Ok

(b) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) > g(x)
Comment répondre à cette question ?
Pas en étudiant le signe de g(x) !

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:32

la parabole et la droite y = - x + 1 se coupe en deux points d'abscisse - 1 et 1
par lecture , il y'a deux solutions une positive et une négative

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:35

par lecture  de quoi ? il y'a deux solutions à quelle équation ? Ou à quoi d'autre ? une positive et une négative.

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:41

par lecture graphique, les points d'intersection de la parabole et de la droite sont (-1;2) et (2;-1)

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:44

f(x) \geqslant g(x)
pour des valeurs de x appartenant à ]-\infty;-1] U [1;+\infty[

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:48

Dans ton cours comment on t'explique de répondre à cette question :

Résoudre graphiquement f(x) > g(x)
Cela revient à regarder sur quel intervalle la courbe représentant la fonction f est au dessus de la courbe représentant la fonction g

Résoudre graphiquement  f(x) < g(x)
Cela revient à .................

Résoudre graphiquement f(x) = g(x)
Cela revient à .................

Posté par
mathchim
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:52

Résoudre graphiquement f(x) < g(x)
Cela revient à  trouver les valeurs de x pour lesquelles f(x) < g(x)
les images de f(x)  sont en dessous des images de g(x)

Posté par
cocolaricotte
re : utiliser le graphe pour en déduire le tableau de signes de 17-06-18 à 22:52

J'ai envoyé ma réponse avant d'avoir vu ta dernière réponse.

Quelle est donc ta conclusio ?

Je vais me déconnecter. En espérant que tu arrives à finir ou que quelqu'un prenne le relai.

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