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[Vacances 1ère] Dérivées et polynômes
Bonjour !
Avant de partir en vacances voici un petit exercice pour s'entraîner sur les dérivées :
M.Jaimelebeautemps, après avoir acheté sa piscine (voir
[Vacances 3ème] Equation et fonction) a acheté un petit toboggan (pour mettre dans la piscine).
La vue en coupe du toboggan est une courbe qui doit répondre aux contraintes suivantes:
- le toboggan fait 2 mètres de haut pour 5 mètres de long
- la courbe passe pas les points A, B et I le milieu de [AB].
- la fonction définissant la courbe obtenue dans le repère orthonormé (A;i,j) est dérivable.
- les demi-tangentes en A et b sont horizontales (pour se raccorder sans angle avec le plan).
Bref le dessin :
![[Vacances 1ère] Dérivées et polynômes](img/forum_img/0219/forum_219385_1.GIF)
1) Donner la fonction polynôminale du 3ème degré dont la courbe représentative est le toboggan (le moins facile).
2) Montrer que la pente maximale est atteinte en I et donner l'angle formé avec l'horizontale (facile).
3) En déduire la mesure de la surface entre le toboggan et le sol (très facile).
Bonne vacances à tous et bon courage !
salut MV 
sympa ton exo de vacances 1°
Je ne vois cependant pas trop l'intérêt de la 3° question ? c'est pour construire le tobogan et déterminer le volume de ciment ?
En revanche, mais ce n'est pas niveau 1°, peut-être que connaître la longueur du tobogan peut être intéressante...
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par ailleurs, je suis étonné de ta courbe en x^3 :
en la représentant à l'échelle sur ton graphique imagé, je la trouve beaucoup moins bombée que comme tu l'as représentée 
Me serais-je trompé ou ne l'as-tu pas fait "à l'échelle " eparce que ce n'est -comme on lit dans les pubs immobilières- qu'une vue "d'artiste" ?
![[Vacances 1ère] Dérivées et polynômes](img/forum_img/0219/forum_219385_1.gif)
une question complémentaire à ton exo pourrait-elle celle-ci :
Les enfants trouvent que le tobogan ne décoiffe pas assez, et demandent à MV de lui faire un tobogan qui "déchire" un peu plus
Pour des raisons de sécurités, MV décide que la pente au point I ne peut pas dépasser 45°
il décide donc de créer un tobogan dont les contraintes de construction sont :
¤ pente nulle en A,
¤ pente nulle en B,
¤ pente de 45° en I,
¤ tronçons en x² sur les portions AI et IB
Quels sont les expressions y=f(x) des tronçons AI et IB ?
Bonjour MKY !
En fait cet exo est basé sur la monté d'une marche de 2 mètre par un chariot, et c'est pour ça que le toboggan ne "déchire" pas beaucoup.
Au départ, c'est 2 fonction de degré 2, donc ça penche plus (d'où le dessin).
C'est vrai que la question 3 n'a pas trop d'interêt. Je vais essayer de chercher la longueur du toboggan avec mes notions de 1ère.
)
alors, MV ou HV , lis(ez) ce lien, c'est facilement accessible aux 1°...
Abscisse curviligne sur wiki :
le lien est accessible ( surtout celui-ci ) , le calcul de la longueur ( 4,45 m pour la courbe en x^3 ) l'est beaucoup moins
Sinon MKY, tu as du te tromper dans tes calculs, car si on va tout droit on a :
L = V(2²+5²) = V29 = 5.38516...> 4.45.
simon >> Ca t'es jamais arrivé de bloquer sur un truc, et après coup tu te rends compte que c'étais trop simple ?
C'est ce qui ma valu de perdre une bonne place aux olympiades.
Epi >> Tu passes en sup ou en term ?
MKY >> en calculant l'écart moyen (E) de la dérivée avec 2/5, puis en assimilant la courbe à 2 fonction affine de coeffs dircteur 2/5-E et 2/5+E, je trouve L = 5,4323 m.
Mais c'est peut-être (sans doute) pas correct.
oula, a mon avis ta méthode est completement fausse, elle peut te donner une idée, masi c'est pas rigoureux
Non , j'vais en prépa intégrée.
Mais sinon ,j'suis d'accord avec simon , de maniére rigoureuse , il doit y avoir des intégrales bien capilotractées..
D'accord, je pensais que tu avais vu les intégrales en 1ère.
Bon, moi il faut que je vous laisse, j'ai pris "un peu" de retard pour le ménage...MV-Cosette 
Voir solution de la 1 ici (mon 1er message) : fonction polynôme 3ème degré
Drysss (toi au moins tu perds pas ton os )>>
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![[Vacances 1ère] Dérivées et polynômes](img/forum_img/0219/forum_219385_3.gif)
pour ma part, MV, il est plus simple de calculer la surface d'un rectangle droit que celle d'un triangle, fut-il rectangle
et avec AB c'est moins aisé à justifier
Autre question à laquelle je n'ai pas réfléchi complètement :
quelle est la courbe polynomiale passant par A, B et I, symétrique et changeant de concavité en I, qui a la plus faible pente en I ?
En prenant AB, il est vrai que c'est plus difficile (de toute façon, f'(x) symétrique pour x = 2,5 ça justifie tout).
Réponse à ta question : Plus le degré du polynome est élevé, plus la pente en I est faible.
Dryss , ça me rassure que tu fasses la même bourde que moi! 
..oui , quand on s'en aperçoit apres on se sent niais ..
Suite à l
Réponse à ta question : Plus le degré du polynome est élevé, plus la pente en I est faible.
Je reprécise ma question
Grr
Suite à la réponse de MV :
Réponse à ta question : Plus le degré du polynome est élevé, plus la pente en I est faible.
Je reprécise ma question :
quelle est la courbe polynomiale passant par A, B et I, symétrique et changeant une seule fois de concavité en I, qui a la plus faible pente en I ?
on peut simplifier le problème en considérant :
¤ le point I en l'origine O d'un repère
¤ une courbe impaire => polynôme ne d° impair
¤ f(0)=0 : la courbe passe en O
¤ le point B est en B(1;1) : la courbe réelle (pour 0<x<5 et 0<y<2) se déduira par homothétie sur x et y
¤ f(1)=1 pour B
¤ f'(1)=0 pour la tangente horizontale en B
¤ f doit être croissante pour 0<x<1 : B est le premier extremum à droite de O
il faut alors déterminer la/les fonction(s) telles que la pente en O, f'(0), soit la plus faible possible
personne ?
alors on peut encore faire plus simple :
Soit une fonction du 3° degré, croissante et strictement concave entre O(0;0) et B(1;1)
Quelles valeurs peut prendre la pente de la tangente en O ?
Donc qu'est-ce qu'on cherche au juste ? 
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