salut

posons f(x) = ax^2 + bx + c

dans [-1, 1] il y a des valeurs particulières ... très particulière dont tu pourrai calculer les images par f ...

Comment les calculer et (a;b;c) sont des inconnues?

ben en fonction de a, b, et c !!!

f(x) = ax^2 + bx + c

f(2) = ... ?

4a+2b+c

Mais x[-1;1]?

On calcule f (1) et f (-1)?

Ça donne:
-1a+b+c1     Et   -1a-b+c1
Donc:
-1a+c1

Excusez-moi svp?

bon non pour ta conclusion

ok pour tes deux inégalités ... mais que pourrais-tu faire avec ?

Les combiner

certes !! mais comment ?

Pour x=0
ax²+bx+c= c
Or (xw[-1;1] |ax²+bx+c|1
C-à-d |c|1

oui mais il faut l'écrire proprement

a * 0^2 + b * 0 + c = 0
or ...
donc ...

ou plus simplement f(0) = c ...

quand on a défini f (comme je l'ai fait)

Comme cela:
-22a+2c2
Alors -1a+c1

Pourquoi tu as arrêté de m'aider moi j'ai besoin d'aide

_{* malou > Merci de ne pas demander de l'aide dans tous les topics que tu trouves ! *}

très bien !

non c'est exactement cela !!

mets plutôt un donc au lieu d'un alors ...

-1c1 alors: 0c²1

-1a+b1 alors:
-1-a-b1
On a -1f (1)
C-à-d -1a+b+c 1
Donc -2a+b+c-a-c2
Alors -2b2
D'où 0b²4

Je commence comme ça?

c'est un bon début (avec une erreur : c'est a + c au lieu de a + b)

tu est pas loin de pouvoir conclure ... mais il reste quand même un peu de travail

Nijiro @ 28-09-2019 à 17:56

-1c1 donc 0c²1

-1a+b1 <=> -1-a-b1
or -1f (1) 1 <=> -1a+b+c 1
Donc -2a+b+c-a-c2 <=> -2b2
D'où 0b²4

Oui, a+c 😅
Pour a²:
-1a+c1 et -1-c1
alors:
-2a2
Ce qui me paraît faux, car a²+b²+c²5
Mais psq: -1a+c1 et |c|1 alors a=0 peut-être?

justement c'est là où ça coince !!!

on arrive à prouver que a^2 + b^2 + c^2 =< 6 ... avec ce que tu as fais ...

tu peux éventuellement proposer déjà cela sur ta copie ... et voir ce que ton prof dira

c'est un DM ?

pardon 9 et pas 6 !!!

Non ce n'est pas un DM, Juste un petit exercice d'échauffement avant de commencer les exercices de perfectionnement😂.

En tous cas, merci beaucoup pour votre aide, ça m'a fait vraiment plaisir😊

alors tant mieux ...

maintenant il y a deux cas :

le cinq est une coquille de neuf

c'est effectivement un cinq ... et je ne vois pas pour l'instant



éventuellement on peut essayer d'élever au carré :

-1 < f(1) < 1 et -1 < f(-1) < 1

et voir ce qui se passe ...

Totalement confuse😣
-1a+b+c10a²+b² +c²+2ac+2ab+2bc1

-1a-b+c10a²+b²+c²+2ac-2ab-2bc1

02a²+2b²+2c²+4ac2


On a: 0(a+c)²10a²+c²+2ac1-52ac1-1-2ac5


-1a²+b²+c²+2ac-2ac6 -1a²+b²+c²60a²+b²+c²6???

je ne comprends pas d'où vient ce -5 (avant dernière ligne)

PS : je mets des < mais à toi de corriger ...


ha mais j'ai oublié : on peut faire beaucoup mieux pour b :

-1 < f(1) < 1 <=> -1 < a + b + c < 1

-1 < f(-1) < 1 <=> -1 < a - b + c < 1 <=> -1 < -a + b - c < 1

donc -2 < 2b < 2 <=> -1 < b < 1

donc on sait que :

|c| < 1
|b| < 1
|a + c| < 1

s = a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2b(a + c) - 2ac < |(a + b + c)^2| + 2|b(a + c)| + 2|ac| < 1 + 2 + 2|ac|

l faudrait donc majorer |ac| par 1 ...

j'utilise l'inégalité triangulaire ... et les conditions qu'on a trouvées ...

Certes, ²+b²+c²=(a+b+c)²-2b (a+c)-2ac, mais d'où viennent les valeurs absolues?

parce que s est un nombre positif ... donc s = |s| ...

Je ne comprends pas toujours😣😣, si s>0 alors |s|=s oui, mais il fallait donc que: a²+b²+c²=|(a+b+c)²-2b (a+c)-2ac|
Mais la question ici est comment connaître la valeur ou plutôt l'encadrement de 2ac?

Voyons si ceci est correct au début :
●-2a+b+c20(a+b+c)²4
●0b (a+c)1-2-2b (a+c)0
●on a: -1a+c10c (a+c)10ac+c²1-1ac+c²-c²1-2-2ac2

Bonsoir,
en respectant
donc on sait que :
|c| < 1
|b| < 1
|a + c| < 1

    c=-0,5==> c^2=0,25  
    b=0,9==>b^2=0,81    
    a=1,2  ==>a^2=1,44

  |1,2-0,5|=0,7
a^2*+b^2*+c^2=2,5<5
f(1)=1,2*1+0,9*1 -0,5=2.5 >1
donc
pour tout x appartenant à [-1;1] |ax^2+bx+c]≤1 n'est pas vérifiée

Mais c'est une donnée de l'exercice. Et on ne sait pas les valeurs exactes de a, b et c donc cela n'a aucun sens, on peut donner un contre-exemple pour x, non pas pour a,b et c?!

PLSVU : on a qu'une implication !!!

si pour tout x de [-1, 1] on a -1 < |f(x)| < 1 avec f(x) = ax^2 + b x + c alors

|c| < 1
|b| < 1
|a + c| < 1

on ne sait rien de la réciproque (comme le montre ton exemple)

Nijiro :

pour la première pourquoi prends-tu -2 et 2 alors qu'on a -1 < f(1) < 1
la deuxième est fausse : -1 < b(a + c) < 1
la troisième idem : -1 < c(a + c) < 1

mais la conclusion semble exacte avec un cheminement identique ...


cependant la question est en déduire ... ben il faut aller la chercher cette déduction !!!

  
Salut  carpediem
remarque
  pour toutes les paraboles  (on peut en tracer  une infinité )    vérifiant
Soit a, b et c des réels tels que:
(x [-1;1] ) |ax²+bx+c|1
    on a  a^2+b^2+c^2≤1,5
  

oui cet exo est un classique que l'on retrouve régulièrement maintenant ... et il me semblait qu'il avait été proposé mieux que 5 ...

quant à l'optimum du majorant ... il me semblait déjà avoir vu 3 ...

et je te fais confiance !!

par contre ça m'énerve de ne pas trouver !!
enfin il me semble qu'on y est presque avec ce qui précède ...

oups  
cas oublié...
axe de symétrie de  la parabole  x=0=-b/2a  =>b=0 (a≠0)

autres cas  

l'axe de symétrie  de la parabole ne coupe pas la portion correspond à)sur [-1;1]
l'axe a pour équation (x=s)   avec  s <-1<-b/2a   ou  s>1>-b/2a
Sommet
f

Bonjour à tous.

Voici une démonstration de l'inégalité.


                                                             (Puisque      et    )


                                                             (Puisque      et    )



Donc:  


Par ailleurs, l'exemple donné par PLSVU   ()  montre qu'on ne peut pas améliorer cette inégalité.

ha damned !! finalement c'était tout ""bête"" (pardon perroquet ) dans le sens où il fallait à nouveau avoir les bonnes idées !!!

merci pour tout perroquet

Bonsoir à tous,
Belle démonstration    ,merci  perroquet