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Niveau seconde
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valeur absolue et valeur approchée

Posté par
hasch
08-08-18 à 08:44

Salut à tous! Je suis nouveau sur le site et le concept de pouvoir se faire aider en ligne et échanger sur nos raisonnements en ligne me plaît bien. Sans tarder, voici l'exercice auquel je fais face depuis peu sans réponse jusqu'ici.

1) a et b sont deux nombres réels vérifiant a < b; x est un élément de l'intervalle ]a; b[.
Démontrer qu'il existe un nombre réel r strictement positif tel que:
]x-r;  x+r[ inclus dans ]a; b[.

==> Mon raisonnement:  je suis partie de ce fait
On essaie de montrer que a < x - r < b et a < x + r < b
en faisant la différence de chaque membre de l'inégalité par x j'ai obtenu
x - b < r < x - a et a - x < r < b - x de là, j' en ai déduit que r > 0; Et  c'est tout je sais pas si le raisonnement est correcte et n'ai pas idée de comment continuer. Merci d'avance de votre aide.

2) a et b sont deux nombres réel. Démontrer que ||a| - |b|| <= |a - b|.


==> Mon raisonnement:
Ici j'ai essayé de partir de l'inégalité triangulaire: |a + b| <= |a| + |b| mais je ne sais quoi faire en suite.

Posté par
Glapion Moderateur
re : valeur absolue et valeur approchée 08-08-18 à 11:31

Bonjour,
Dis autrement : quelque soit le point du segment ]a;b[, on peut trouver un petit intervalle ouvert centré sur x qui soit dans le segment ]a;b[.

Graphiquement c'est assez évident. Il suffit de prendre un r assez petit. et effectivement prendre r tel que r < x-a et r < b-x donc inférieur à la plus petite valeur des deux convient très bien.

Posté par
co11
re : valeur absolue et valeur approchée 08-08-18 à 19:27

Bonsoir,
Glapion a commencé à répondre ...
Ma seule remarque est que je suis étonnée que cette question soit posée au niveau d'une seconde !?

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 08:51

Merci pour les réactions  assez rapides j'essaie ça et fais signe en cas de blocage. Encore un grand merci à vous. Et j'espère d'autres réponses plus détaillées.

Posté par
Glapion Moderateur
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 12:15

Indication pour la 2) : applique l'inégalité triangulaire à a = (a-b) + b

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 12:53

Je fais ça tout de suite! Merci vraiment à vous Mr Glapion. (Je ne suis plus élève depuis déjà. je passe une partie de mon temps à réviser les maths des classes précédentes pour une utilisation concrète dans le domaine de l'informatique (écriture d'algorithmes performants)) cela m'aide vraiment d'avoir des solutions aux problèmes que je rencontre. Et votre raisonnement au premier exercice m'a fait me poser la question: Pourquoi n'ai je pas pensé comme cela plus tôt. Et pouvez vous me dire si en partant de mon hypothèse de départ (On essaie de montrer que a < x - r < b et a < x + r < b ), j'aurai eu une solution fiable? Merci d'avance

Posté par
co11
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 19:37

Rebonjour,
attention, on ne cherche pas à montrer que a<x-r<b et a<x+r<b , on veut montrer qu'il existe bien r vérifiant cela.
Glapion a proposé un dessin : a, b, x entre les deux. C'est pas mal de visualiser.
N'importe quel r plus petit que x-a et b-x marchera (par exemple le plus petit des 2 nombres (x-a)/2 et (b-x)/2)
Cela dit j'espère que cet exercice te sert à quelque chose pour ce que tu veux faire en informatique. D'où vient-il?

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 19:41

il est tiré d'un livre de seconde: CIAM.
Comment démontrer déjà que ce r est bien > o?
r < x - a
r < b - x
Que peut on déduire de cela?

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 19:55

Donc j'aimerais vraiment savoir comment déduire de r < x - a et de r < b - x  que r > 0; Peut être je raisonne mal sur comment m'y prendre. Je serais ravi qu'une solution complète soit proposée. Cela me permettra de vraiment voir le raisonnement jusqu'à la fin. Comment on commence? Quelles sont les remarques à faire sur l'énoncé déjà? Comment terminer et pourquoi déduire telle ou telle chose? Merci d'avance et désolé de sembler lourd à ce point

valeur absolue et valeur approchée

Posté par
carpediem
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 20:11

salut

avec ton graphique et r > 0 on a (sachant que a < x < b) :

a < x - r < x < x + r < b avec les conditions a < x - r <=> r < x - a et x + r < b <=> r < b - x

si maintenant tu prend un réel s < 0 (par exemple s = - r) alors tu auras :

a < x + s < x < x - s < b avec les conditions a < x + s <=> s > a - x et x - s < b <=> s > x - b

donc on peut toujours choisir un réel r > 0

...

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 20:17

Si je vous suis bien Monsieur Carpediem, alors il faut étudier 2 cas: 1- r > 0 et voir ce qu'on obtient puis r < 0. puis déduire que seul avec r > 0 on a   ]x-r;  x+r[ inclus dans ]a; b[ ? Est cela?

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 20:25

Je crois qu'il y'a un truc qui m'échappe bien dans cet énoncé. Elle est du type "Démontrer qu'il existe ... tel que ...". Ne doit-on pas pour débuter avoir un début de réponse du type : Admettons que + (affirmation suivant le tel que) et montrons que + (affirmation suivant le qu'il existe). puis continuer par des inclusion ou des équivalences? Pouvez-vous s'il vous plaît m'éclairer là dessus également? (la rédaction quoi!)

Posté par
co11
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:02

Non, r est censé être > 0  , et r<1 ou >1 peu importe, ce qui compte c'est a<x<b.
Regarde ton dessin par exemple (ton r n'est pas bon : il vaut 2 sur le dessin : enfin je veux dire au lieu de r il faut lire x-r = 5, avec ton x = 7 et r = 2)  
d'accord ? Oh la la je ne suis pas sûre d'être claire ..?
Je persiste à penser que c'est un peu difficile, mais bon tu le diras ...
à plus

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:08

Tout à fait Madame co11. Si seulement quelqu'un pouvait suivre cet exercice de bout en bout avec un vocabulaire mathématique, ce serait peut être plus simple à comprendre.
par exemple à ma connaissance, les démonstrations suivent généralement un parcours très rigoureux et avec un vocabulaire qui ne porte pas à confusion. exemple
1) Supposons que ....
2) On démontre que si ... alors ....
2.1) (ou encore) d'après la propriété ... ou le théorème ... on peut écrire...
3) on peut conclure que ... car ....

Posté par
co11
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:18

pour un si ... alors ... oui, mais là c'est une question d'existence : trouver un r ça marche.
Mais je persiste à dire que tout cela est bien difficile.

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:26

logiquement dans la pensée, cela semble évident mais la démonstration en elle même ne me semble pas si évidente. Généralement une démonstration suit les étapes ci-dessous
1) hypothèse:  Point de départ d'une démonstration logique, posé dans l'énoncé et à partir duquel on se propose d'aboutir à la conclusion.
2) recherche et mention des propriétés utilisées (d'après le théorème de Thales ... ou encore on sait que ou encore si ... alors)
3) conclusion.

Mais là, je sais vraiment plus par où commencer. J'aime suivre une rédaction claire et précise dans mes démonstrations afin que cela puisse paraître assez évident même pour un illettré. Mais là, je sais vraiment plus quoi faire. En attendant, je partage également l'exercice avec d'autres personnes mais ça ne donne rien de claire. J'espère que j'aurai une réponse  plus claire et évidente même pour un enfant après coup. Et si elle vient d'ailleurs, je la partagerai ici.

Posté par
carpediem
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:28

Citation :
a et b sont deux nombres réels vérifiant a < b; x est un élément de l'intervalle ]a, b[.

Démontrer qu'il existe un nombre réel r strictement positif tel que : ]x - r,  x + r[ ]a, b[.


par définition d'un intervalle on cherche donc un réel r tel que a < x - r < x < x + r < b

1/ on peut remarquer donc  que r est positif car :

x < x + r <=> 0 < r  (et de même x - r < x <=> -r < 0 <=> r > 0

2/ r doit de plus vérifier a < x - r <=> r < x - a et x + r < b <=> r < b - x

or a < x < b <=> a < x et x < b <=> x - a > 0 et b - x > 0


donc r vérifie : 0 < r < x - a et 0 < r < b - x


donc r existe ...

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:31

carpediem @ 09-08-2018 à 21:28

Citation :
a et b sont deux nombres réels vérifiant a < b; x est un élément de l'intervalle ]a, b[.

Démontrer qu'il existe un nombre réel r strictement positif tel que : ]x - r,  x + r[ ]a, b[.


par définition d'un intervalle on cherche donc un réel r tel que a < x - r < x < x + r < b

1/ on peut remarquer donc  que r est positif car :

x < x + r <=> 0 < r  (et de même x - r < x <=> -r < 0 <=> r > 0

2/ r doit de plus vérifier a < x - r <=> r < x - a et x + r < b <=> r < b - x

or a < x < b <=> a < x et x < b <=> x - a > 0 et b - x > 0


donc r vérifie : 0 < r < x - a et 0 < r < b - x


donc r existe ...

là c'est bien plus claire et je vois peut être où ça coinçait. Alors il n'est pas question de montrer que ce r existe et est strictement positif, mais de montrer que ce r positif existe vraiment?

Posté par
carpediem
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:33

co11 @ 09-08-2018 à 21:18

pour un si ... alors ... oui, mais là c'est une question d'existence : trouver un r ça marche.
Mais je persiste à dire que tout cela est bien difficile.
c'est ) peine de niveau collège ...

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:35

Dites Monsieur

Citation :
carpediem
. Face à un énoncé tel que celui-ci: Démontrer qu'il existe (expression) tel que (affirmation). Peut on commencer en partant de l'affirmation suivant le "tel que" et commencer ainsi la démonstration effective?

Posté par
carpediem
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:39

si r existe alors il vérifie ...
...
donc r existe ... (car ce qu'il vérifie donne des solutions)

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:45

Un grand merci à vous Mr carpediem. Cette solution est vraiment claire et évidente maintenant. En fait je me suis mal orienté dans mon raisonnement pour établir des hypothèses. Vôtre hypothèse de départ est parfaite

Citation :
par définition d'un intervalle on cherche donc un réel r tel que a < x - r < x < x + r < b
. La mienne était:
Citation :
admettons que a < x - r < b et a < x + < b.  
après soustraction de chaque membre des inégalités par x, j'avais  
Citation :
x + b < r < x - a et a - x < r < b - x
  Et je ne savais plus comment continuer.

Posté par
carpediem
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 21:59

de rien




PS : je note et apprécie ta politesse (qui est malheureusement de moins en moins fréquente) ... mais le Mr n'est pas nécessaire

et de même tu as le droit de me tutoyer ...

Posté par
hasch
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 22:04

carpediem @ 09-08-2018 à 21:59

de rien




PS : je note et apprécie ta politesse (qui est malheureusement de moins en moins fréquente) ... mais le Mr n'est pas nécessaire

et de même tu as le droit de me tutoyer ...


Merci bien. Et merci aussi à tous ceux qui ont intervenu sur cet exercice. Cela m'a permis d'avoir des angles de vu différents face à ce type de démonstration et c'est pas mal comme leçon pour une journée. Le but: Apprendre un peu plus chaque jour. Une question, est il permis de demander l'adresse email des membres du site?

Posté par
carpediem
re : valeur absolue et valeur approchée 09-08-18 à 22:11

tu les as (pour ceux qui la mettent) dans leur profil ...

et bon courage pour la suite



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