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Niveau seconde
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valeur absolue / valeur approchée

Posté par
mathchim
06-03-18 à 10:17

Bonjour

Soit \left|a - 2 \right| \prec 1


1 ) montrer que 1 < a < 3

2 ) montrer que    a^{2}- 2a     appartient à    \left[-1 ; 3 \right]

3 ) montrer que   \frac{1}{2} \prec \frac{3}{ a^{2}-2a + 3} \prec \frac{3}{2}

4 ) déduire  que 1 est une valeur approchée de   \frac{3}{ a^{2}-2a + 3}       à 0,5 près

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 10:17

j'ai procédé de cette façon

dans l'énoncé on dit que   \left|a - 2 \right| \prec 1
donc, avec cette condition, la plus petite valeur inférieure à 1  ça va être 2,999

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 10:23

salut

à quelle condition sur x a-t-on |x| < 1 ?

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 10:24

bonjour carpe diem

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 10:25

j'ai toujours un peu de mal à répondre à cette question

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 10:59

Bonjour à tous les deux,

mathchim tu écris :

Citation :
donc, avec cette condition, la plus petite valeur inférieure à 1 ça va être 2,999

ça c'est un scoop...2,999 < 1

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 11:35

Bonjour Tilk

et une ânerie de plus ( pour moi !! )

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 11:41

j'ai fait deux schémas :
- l'un avec un axe gradué de 1 à 0 où j'ai représenté la plus petite valeur qui serait inférieure à 1
puisque l'énoncé dit  \left|a - 2 \right| \prec 1

et j'ai fait un autre schéma avec le même axe mais cette fois-ci gradué de 1 à 3
avec les valeurs correspondants au calcul de  \left|a - 2 \right|
pour des valeurs de a commencé à 0,9

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 11:44

j'avais en tête le deuxième dessin où j'ai représenté les valeurs de calcul \left|a - 2 \right| (celui ou j'obtiens 2,999 si a = 0,999

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 13:24

connais-tu la fonction valeur absolue ?

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 13:29

la valeur absolue d'un nombre est toujours positive
on utilise les deux barres verticales pour supprimer ( si je peux dire comme ça) donc supprimer , enlever le signe - placé devant le nombre en question

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 13:40

la première proposition est une propriété (et pas la définition)
la deuxième donne simplement la notation

mais je ne vois toujours pas de définition exacte ...

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 13:49

si x > 0 alors \left|x \right|=x
et
si x < 0 alors \left|-x \right|=x

est ce que c'est mieux ??

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:04

ok ...

bon maintenant considérons l'inéquation |x| < 1 (qui est la tienne en posant x = a - 2)

|x| < 1

premier cas : x < 0
deuxième cas : x > 0

traite chaque cas pour te débarrasser des barres de valeur absolue

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:18

premier cas : x < 0

on a vu que \left|-x \right| = x   alors    \left|-x \right| < 1 \Leftrightarrow x < 1

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:20

deuxième cas : x > 0

comme \left|x \right| = x   alors  \left|x \right| < 1 \Leftrightarrow x < 1

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:25

mathchim @ 06-03-2018 à 14:18

premier cas : x < 0

on a vu que \left|-x \right| = x   alors    \left|-x \right| < 1 \Leftrightarrow x < 1


non ce n'est pas -x c'est x !!!

si x < 0 alors |x| = -x

donc |x| < 1 <=> ...

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:42

oK

si x > 0 alors \left|x \right| = x
et
si x < 0 alors \left|x \right| = - x

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:44

si  x < 0 alors \left|x \right| = - x

donc \left|x \right| < 1\Leftrightarrow -x < 1

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:52

et alors ? il faudrait aller jusqu'au bout ...

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:54

si x > 0
comme \left|x \right|=x \Leftrightarrow x < 1

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 14:59

tu n'as pas fini à 14h44 ... ni même à 14h54 ...

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 15:02

si je prends un nombre négatif alors \left|x \right|=-x
mais la valeur absolue ne peut être qu'une valeur positive

c'est toujours cette difficulté que j'ai avec la valeur absolue
Peux tu 'aider ? s'il te plait

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 16:46

mathchim @ 06-03-2018 à 14:44

si  x < 0 alors \left|x \right| = - x

donc \left|x \right| < 1\Leftrightarrow -x < 1
et alors ?

on veut x et pas -x ...

Posté par
mathchim
re : valeur absolue / valeur approchée 06-03-18 à 19:19

Bonsoir

on donne \left|a - 2 \right| < 1
et je dois montrer que 1 < a < 3

si je prends des valeurs positives prises entre 0,9 et 0,1
en faisant le calcul avec \left|a - 2 \right| j'obtiens des valeurs entre 2,9 et 2,1
donc déjà je sais que  a < 3

maintenant, je vais essayer avec des valeurs négatives
en partant de - 0,1
et en faisant le calcul    \left|a - 2 \right|  j'obtiens  \left|-1,9 \right| soit 1,9

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : valeur absolue / valeur approchée 07-03-18 à 17:47

Bonjour mathchim,
tu ne prouves rien du tout.
|A| < 1 équivaut à -1 < A < 1 ou A ]-1;1[
sur une droite gradué cela correspond à l'intervalle ouvert ]-1;1[ : voir dessin

valeur absolue / valeur approchée

en posant A = a - 2
tu as donc

|a - 2| < 1 équivaut à -1 < a - 2 < 1

je te laisse terminer....

Posté par
carpediem
re : valeur absolue / valeur approchée 07-03-18 à 18:19

mathchim @ 06-03-2018 à 15:02

si je prends un nombre négatif alors \left|x \right|=-x
mais la valeur absolue ne peut être qu'une valeur positive

c'est toujours cette difficulté que j'ai avec la valeur absolue
Peux tu 'aider ? s'il te plait


et alors ??

|-2| = 2 = -(-2) pour illustrer et ---2) est bien positif !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

donc si x < 0 |x| = -x et x < 0 \iff -x > 0

et c'est exactement ce que je te demandais à 14h59

maintenant pour justifier le résultat de Tilk_11 (que je salue au passage)


si x \le 0 alors |x| < 1 \iff -x < 1 \iff x > - 1

mais x =< 0 donc -1 < x =< 0

si x \ge 0 alors |x| < 1 \iff x < 1

mais x >= 0 donc 0 =< x < 1

au final -1 < x < 1

il suffit alors de remplacer x par a - 2



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