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Valeur d'une sommation

Posté par
derny
16-03-21 à 10:45

Bonjour. J'ai trouvé la valeur de quelques sommations. Par exemple pour 1/(n(4n²-1)) j'avais trouvé 2ln(2)-1. Mais pour une sommation quasi semblable je ne trouve pas. Quelqu'un pourrait-il me dire ce que vaut la sommation de 1/((n-1)(4n²-1)) en partant de n=2 bien sûr ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur d'une sommation 16-03-21 à 14:49

Bonjour

Commence par écrire

\dfrac{1}{(n-1)(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{a}{n-1}+\dfrac{b}{2n-1}+\dfrac{c}{2n+1}

avec a,b,c réels.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur d'une sommation 16-03-21 à 14:55

Tu es sur que c'est ce qu'on te demande? Le résultat contient la constante \gamma la connais-tu?

Posté par
alb12
re : Valeur d'une sommation 16-03-21 à 16:37

salut,
si c'est seulement la reponse qui t'interesse...

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 16-03-21 à 17:12

On ne me demande rien. C'est moi qui cherche quelques sommations.  C'est le résultat qui m'intéresse en effet. Oui je connais la constante gamma. Donc, Camélia tu as la réponse ?

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 16-03-21 à 17:47

Le lien de alb12 renvoie à xcas. Je ne connais pas. J'ai essayé mais je ne suis pas parvenu à lancer le calcul.  Pouvez-vous m'expliciter la démarche ?

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 16-03-21 à 17:53

Ca y est j'ai réussi. Merci pour le lien.
Il est encore question de ln(2) mais pas de gamma.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur d'une sommation 17-03-21 à 15:06

Moi j'ai demandé à Wolfram, qui m'a donné une réponse avec \gamma, pour la somme qui s'arrête à n, comme tu l'as demandé. La somme de la série en effet n'a pas de \gamma

Posté par
Molotov79
re : Valeur d'une sommation 19-03-21 à 15:01

Puis je traiter cet exo si les moderateurs me le permettent biensur

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur d'une sommation 19-03-21 à 15:05

Bonjour

Oui, je pense que tu peux, l'intéressé ne s'est plus manifesté!

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 20-03-21 à 00:21

Bonsoir. J'avais trouvé ce que je cherchais. Encore merci pour les aides que chacun peut apporter. Je pensais que le sujet était clos (je n'avais pas demandé que la somme s'arrête à n). C'est pourquoi je ne m'étais plus manifesté. En fait sans aucune aide (de logiciels ou autres) j'avais trouvé une multitude de sommations. Je m'aperçois à présent que les logiciels trouvent immédiatement ces sommations.
Mais, dans cette petite étude sur les sommations que j'avais entrepris j'avais trouvé quelques propriétés simples que les logiciels ne mettent pas forcément en évidence.
Par exemple : Sommation de 2 à l'infini de 1/(n-1)(4n²-1) + sommation n/(n-1)(4n²-1) fait 1/6.
Autre exemple : \sum_{1}^{\infty }{\frac{1}{n^{3}(n+1)^{3}}}=\sum_{2}^{\infty }{\frac{6}{n^{2}(4n^{2}-1)}}=10-\pi ^{2}
Autre exemple : \sum_{1}^{\infty }{\frac{1}{n^{u}(n+1)^{v}}}+\sum_{1}^{\infty }{\frac{1}{n^{u+1}(n+1)^{v}}}=\sum_{1}^{\infty }{\frac{1}{n^{u+1}(n+1)^{v-1}}}
Autre exemple : \sum_{1}^{\infty }{\frac{4}{n^{u}(4n^{2}-1)^{v}}}=\sum_{1}^{\infty }{\frac{1}{n^{u+2}(4n^{2}-1)^{v}}}+\sum_{1}^{\infty }{\frac{1}{n^{u+2}(4n^{2}-1)^{v-1}}}

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 05-04-21 à 14:21

Bonjour. Je sollicite à nouveau l'avis de spécialistes. Sur le lien de xcas je ne suis pas d'accord avec certaines réponses. A moins que ce soit moi qui ne sache calculer ce qui est proposé. Par exemple pour la sommation de 1 à l'infini de 1/(n^3 (4n²-1)^3) je trouve 24ln(2)+0.75Zéta(3)-17.5 soit environ 0.037075. Or xcas donne -Psi(0.7)/8-12Psi(0.5)-Zéta(3)-12Gamma-17.5. On trouve une autre valeur que la mienne et xcas ne donne pas de valeur approchée pour les cas où je ne suis pas d'accord. Pour Psi(0.5) je trouve -2ln(2) donc je retrouve ma valeur. Idem pour la constante xcas trouve comme moi. Pour Psi(0.7) je trouve environ -1.22002355. Où me trompe-je ?

Valeur d\'une sommation

Posté par
alb12
re : Valeur d'une sommation 06-04-21 à 11:58

Xcas trouve comme toi

Posté par
alb12
re : Valeur d'une sommation 06-04-21 à 12:01

mieux

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 06-04-21 à 12:56

Super. Merci alb12. Questions : comment fais-tu apparaître la 3e ligne (pour simplifier(S)) ? Et où est mon erreur quand j'évalue la première ligne et que je ne trouve pas la valeur évaluée ?

Posté par
alb12
re : Valeur d'une sommation 06-04-21 à 17:37

Avec un logiciel de calcul formel, pour savoir si 2 expressions sont egales, on tape simplify(A-B)
si le resultat est 0 (l'entier 0 pas 0.0) alors A et B sont egales
ici c'est le cas

Posté par
derny
re : Valeur d'une sommation 06-04-21 à 21:28

Merci pour ce cours



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