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Niveau Maths sup
Valeur moyenne
Posté par pial
Bonjour, voici la question:
"Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on choisit au hasard un point A dans le carré de sommets (-2,2), (2,2), (2,-2), (-2,-2).
Après beaucoup de répétition de cette expérience, déterminer la distance moyenne OA."
Un petit programme informatique m'a permis de trouver que la distance moyenne OA est approximativement de 1,53
Mais je ne sais trouver cela mathématiquement !
Merci de votre aide.
Bonjour,
Pour commencer, saurais-tu calculer la distance moyenne OA si A était choisi au hasard dans le disque de centre O de rayon 2 ?
Voyons, les points à distance r de O sont sur le cercle de centre O et de rayon r.
Ne vois-tu vraiment pas comment calculer la distance moyenne comme une intégrale pour r allant de 0 à 2, divisée par l'aire du disque ?
Bonjour
C'est bizarre après vérification je trouve que la moyenne OA est
mais par simulation je trouve comme toi approximativement 1.53.
J'attends pour voir l'explication de cette petite différence (de 2% tout de même)
re...
une idée peut être pour la façon mathématique de résoudre le problème , on peut poser un couple de variables aléatoire (X,Y) qui serviront à définir le choix aléatoire d'un point dans les limites du carré et ou X et Y suivent tout deux une loi uniforme sur [-2,2] , il suffira ensuite de poser une variable aléatoire Z telle que Z² = X² + Y² et ensuite trouver la loi de Z et son espérance
Ceci revient à calculer une intégrale double sur le carré ...
On ne coupe pas à calculer des intégrales.
re,
Je pense plus simplement qu'il s'agit de calculer la valeur moyenne de la fonction "distance à l'origine" sur le domaine considéré.
Rebonjour
Ok en calculant d'abord la loi de puis
puis celle de
je trouve bien
Par contre P(Z<a) c'est aussi aire de
calcul à faire en distinguant a<2 et a>2. Je trouve un résultat P(Z<a) cohérent. Mais je fais le calcul de la moyenne avec un calcul formel... et j'obtiens pas le bon résultat.
Il faudrait donc faire le calcul à la main...
On peut faire le calcul avec une intégrale simple. La densité de la distance à l'origine est une fonction de r proportionnelle à la longueur de l'intersection du cercle de centre O de rayon r avec le carré.
C'est pour cela que je proposais de traiter le cas du disque de centre O comme échauffement.
Je reviens sur ce sujet pour donner des indications sur un calcul possible à la main.
Je traite le problème pour le carré de sommets . Il suffira ensuite de changer d'échelle et de multiplier par 2 le résultat.
La longueur de l'intersection du cercle de centre O et de rayon avec le carré est
si
et
si
.
La distance moyenne à O est donc
La première intégrale vaut , et l'intégration par parties de la deuxième intégrale donne
On obtient donc
où la deuxième intégrale s'obtient bien sûr par le changement de variable . Cette intégrale se calcule aisément en utilisant
et on arrive à