Bonjour,
je pense que tu ne maitrises pas vraiment ton cours.
Les valeurs propres de f sont les réels a tels que f(x)=ax. x sont les vecteurs propres associés à a.
Notamment tu vois que si f(x)=ax alors c'est équivalent à dire que
f(x)-ax=0.
Notamment il faut chercher le noyau de cette application pour trouver les vecteurs propres.
On voit aussi bien que les valeurs propres sont les racines de
det(A-X).
Notamment, pour toi ca va être

|1-X 1|
|1 1-X|
=(1-x)²-1=x²-2x=x(x-2)
Là il est clair que 0 et 2 sont bien valeurs propres de A (ou f).
(On pouvait clairement se douter que 0 était bien une valeur propre car det(A)=0)
Pour trouver les espaces propres je te laisse regarder ton cours, et lire aussi ce que je te dis plus haut, normalement juste avec mes indications tu devrais trouver.

Je vais lire la suite et je te répondrai après, voilà déjà pour le début.

Bon déjà pour la quesiton b, sans la matrice ni f, on ne pourra pas te répondre.

Ensuite:

A Mn(R) fL(E) A=MatB(f); B base de E
on doit montrer que si n est impair et K=R alors f admet au moins une valeur propre.

Bon ca c'est franchement trivial avec les indications que je te donne. En plus je vais te donner une autre indication:
un élève de première saurait résoudre ce problème (sous condition de le reformuler dans un langage qu'il peut comprendre)
Ca doitt t'aider à ne pas chercher un truc trop compliqué.


puis on doit montrer que les endomorphisme  de a) et b) sont diagonalisables. on sait que: E admet une base de vecteurs propres de f <=>A semblable à une matrice diagonales. on dit que f et A sont diagonalisables.

Je ne vois pas où est la question, ca me semble être répondu à l'intérieur même de la question.
Un endomorphisme est diagonalisable si E admet une base de vecteurs propres. Il suffit de voir que les vecteurs propres que l'on a trouvé forment une base, non?
Bonne chance.
a+

Bonjour otto,

Désolé de m'imiscer dans vos échanges mais tu sembles maîtriser le sujet et un post d'il y a quelques temps : Valeurs et vecteurs propres est resté ouvert sans répondre complètement à mes questions.
Peut-être peux-tu vulgariser un peu...

Je me souviens, dans mes études, avoir "étudié" les vecteurs et valeurs propres de matrices.

Dans ma vie professionnelle, je n'ai pas besoin de les utiliser.

Sauriez-vous me donner des exemples d'utilisation de cet outil ?
Et me rappeler (ou me fournir un lien de rappel) ce concept ?

Merci à l'avance pour une réponse "accessible".

Philoux

Devoir de mémoire : "O chers Mrs Cayley et Hamilton, merci d'avoir créer ce théorème afin de réduire ces endomorphismes si délicats, merci d'avoir introduit la notion de déterminant à degrés multiples, merci d'avoir collaboré avec Mr Gauss à la résolution de systemes d'équations par pivot"

salut otto merci pour ton aide


je ne maitrise pas le cours car je n'en ai pas. je suis en sup et les valeurs propres sont vu en spé
le prof ns a donné un dm sur ca pour amorcé ce qu'on verra l'année prochaine.


0 et 2 ok j'avais trouvé
sev propre, j'ai résolu det(f-IdE) et j'ai trouvé vect (e1+e2) comme je l'ai précisé je voulais qu'on me dise si c'est correcte ou pas.( c'est un + et non un moins comme j'avais mis)


pour n=3 desolé j'ai oublié d'ecrire la matrice. c'est la suivante
A=(2  i  i)
  (i  2  i)
  (i  i  2)
pour resoudre det(A-X)=0 j'obtiens le système que j'ai écrit, je voulais aussi que l'on me confirme si c'étais correcte ou pas.

ok pour la denière j'étais plus sur le faitde chercherune matrice semblable.
en fait l'equivalence dont j'ai parlé étais à demontrer  également; tu va sans doute trouver ca encore une fois trivial, mais aurais-tu des indications a me donner?


pour le cas n impair ben je vois tjrs pas,dsl

Ok alors si tu n'as pas de cours c'est différent:
Je ne vais pas vérifier pour tes réponses pour cause de manque de temps, mais pour le déterminant A-X où A est d'ordre n, que peux tu en dire?
Ca va être un polynôme en X de degré quoi?
Ca se fait bien par récurrence (en fait c'est pour la preuve, parce que ca se voit bien sinon)
Si tu vois ca, tu as répondu au problème.

Comme je te l'ai dit, tu n'as pas besoin de cours si tu suis mes indications.
f(x)=ax <=> f(x)-ax=0 <=> x appartient au noyau de f-aId.

Chercher le sous espace propre associé à a c'est donc équivalent à chercher le noyau de f-aId.
il suffit donc de résoudre
f(x)-ax=0 pour trouver E(a).

Bonne chance,
a+

oui le polynome dont tu parle on la nommé P_A(X).
on l'as étudié dans les questions précédentes. on sait que deg(P_A)=n, le coeff de X^(n-1) dans P_A est ((-1)^(n+1))tr(A) et le coeff constant de P_A est det(A).

mais je ne vois pas en quoi le fait que deg P_A est impair implique qu'il existe R tq P_A()=0

En effet c'est exactement ca.
je te laisse chercher sur cette question.
indication:
sors du cadre de l'algèbre linéaire et n'oublie pas que je t'ai dit qu'un élève de lycée sait résoudre ceci. (indication qui te sert à te rendre compte que ca ne va pas chercher de théorie particulière...)

j'ai oublié de preciser que le coeff domnant est (-1)^n
donc si n impair limP_A=-inf en +inf
                                  +inf en -inf
P_A est continue sur R donc d'après tvi ilexiste R  P_A()=0
????

pour b) n=3, j'obtient un systeme trop bizarre du fait qu'on est dans les complexes (ma 1èe réponse sur cette question était fausse)
j'ai posé X=x+iy et en résolvant
det(A-XI₃)=0
jai 14-x³+3xy²+6x²-6y²-15x=0
  et 3x²y-y³+12xy-15y-2=0

si tu as le temps plus tard,tu pourrais me dire si j'ai faux?

Pour le polynôme de degré impair c'est l'idée, et tu devrais en être convaincue.

Pour la b, tu devrais plutôt faire un pivot, ou regarder du coté des racines évidentes parce que sinon tu auras du mal, en général les polynômes de degré 3 on ne sait pas les résoudre sans beaucoup de calcul.
Par exemple 2-i semble être une racine "évidente", sauf erreur.
Ensuite tu as (X-2+i) que multiplie un polynôme de degré 2 et on en trouve facilement les racines.

Bonne chance,
a+