salut

je pense que tu devrais revoir ton énoncé !!

1/ f ou g ?  et très certainement des erreurs dans les indices ...

C'est g non pas f , just une faute de la part du clavier

Bonjour,

La définition de "base triangulaire" est visiblement incorrecte : telle que tu l'as formulée, toute base est triangulaire.

Monsieur
Sera quoi la definition correcte

Vérifie ce qui est écrit dans ton énoncé. N'est-ce pas ?

Non monsieur c'est du e_i jusqu'a e_n
Vous avez monsieur une idée comment resoudre ?

Pardon je me suis trompé , Non monsieur c'est du e₁ jusqu'a en
Vous avez monsieur une idée comment resoudre ?

Si c'est vraiment de jusqu'à , alors c'est une erreur d'énoncé. Je t'ai donné plus haut la bonne version.
On peut considérer les noyaux des itérés de .

Pardon monsieur je n'ai pas bien compris

(puisque )
Quelles relations entre ces noyaux d'itérés de (composés de avec lui-même plusieurs fois) ?

On aura ker( g)=ker(g²)=ker(g^k) non?
Sinon je n'arrive pas a trouver la relation

Bien sûr que non, ça voudrait dire que . Réfléchis mieux. Commence par comparer et . Est-ce que l'un implique l'autre ?

On a g(x)=0 => g(x)=0x => g(g(x))=0g(x) =>g²(x)=0
Oui voila y a une implication
Mais quelle est la relation entre ça et la solution monsieur ?

Quelle est la relation entre ?
La compréhension de cette relation devrait te permettre de voir comment construire une base de triangulaire pour .

Monsieur ce que j'ai fait
E={x€ E/ g(x)=0x} = ker(g) (comme 0 une valeur propre de g)
=> E={x€ E/ g²(x)=0}=ker(g²)
=> E={x€ E/ g(x)^k=0x}=ker(g^k)

alors ker(g)=ker(g²)=ker(g^k)
=> g(x)=g(x)²=g(x)^k
=> g(x)=g(g(x))
=> g(x)=x
= il existe une x_i€{e₁,e₂,...,e_n} tel que x_i=g(x_i)
C'est a dire que x=vect(e_i)
Alors g(x)€vect{e_i}

Je sais pas si c'est correcte sinon si vous avez une methode , j en serais reconnaissant

Bonjour

Soit f ∈ L (E) un endomorphisme non nul nilpotent.
1. Montrer que 0 est une valeur propre de f.
2. On dit qu'une base B = {e₁, e₂, . . . , e_n} de E est triangulaire pour f si
f(ei) ∈ Vect{e1, e2, . . . , en} pour i = 1, 2, . . . , n
Montrer qu'il existe une base de E triangulaire pour f.
3. Soit B = {e₁, e₂, . . . , e_n} une base triangulaire pour f. On pose e₀ = 0, on appelle
indice de Jordan de B, noté i_B, le plus grand entier i ≤ n tel que
f(ej ) = εi ej−1, εj ∈ {0; 1} pour j = 1, 2, . . . , i
Montrer que iB est défini et que iB ≥ 1.
4. Dans la suite, pour x ∈ E : on pose e(x) = inf{k ∈ N^*/ f^k(x) = 0_E}.
(a) Soit B = {e₁, e₂, . . . , e_n} une base triangulaire pour f, montrer que pour tout entier
j avec 1 ≤ j ≤ i_B, on a
f^k(ej ) = e_j-kpour 1 ≤ k ≤ e_ej

(b) Soit B = {e1, e2, . . . , en} une base triangulaire pour f. On suppose que iB < n et
on pose r = i_B + 1, on a donc
f(er) = α₁ e₁ + α₂ e₂ + . . . + α_r e_r où α_i∈ IK
On pose
I₁ = {i ∈ {1, . . . ,r − 1} / f(e₁+1) = e₁}
I₂ = {i ∈ {1, . . . ,r − 1} / i I₁ et α_i= 0}
Montrer que
f(er) =f(α_ie_i+1)+α_ie_i  

(i∈I₁ , i∈I₂ respectivement )
(c) Avec les notations de 4.(b), on suppose que I2 = ∅ et on pose e_k'=e_r-α_ie_i+1
e_j'=e_j si  jr
Montrer que Montrer que B''
une base triangulaire pour f d'indice de Jordan supérieur strictement à i_B

*** message déplacé ***

Bonjour,

Est-ce que ton travail personnel de recherche a consisté à recopier l'énoncé ici ?
Si tu as fait plus, dis-nous où tu en es.

*** message déplacé ***

salut

voir Valeur propre
où l'on retrouve le même pb de base triangulaire ...

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Et avec la même erreur d'énoncé ...

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J'arrive pas a resoudre le probleme , j'ai deja posté ce que j'ai tenté y'a quelque jours mais sans aucune resultats,

J'ai recouru a vous pour me guider , m'aider a trouver la solution mais malheureusement rien n'est trouvé
S'il vous plait si vous avez des idées , citez les 🙏🏻🙏🏻 j'en serai reconnaissant 🙏🏻

Bien Cordialement

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tant que l'énoncé est faux on ne pourra pas t'aider ...

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Sur l'autre fil, je t'ai indiqué comment corriger l'énoncé et donné des indications pour montrer l'existence d'une base triangulaire.
Ou alors, tu as peut-être dans ton cours un résultat qui dit qu'un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé est triangularisable ?

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** Fichier supprimé ** bonjour
J'espere que vous allez bien
S'il vous des idèe pour repondre a cette exercice , je dois le repondre avant le lundi  puisque j'aurai l'examen.
Ps : y'a une erreur d'indice dans la deuxieme question

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Bonjour,

Tu connais le forum, et tu sais que tu dois recopier ici ton énoncé et indiquer ce que tu as fait.

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Et ouvrir un simple pdf peut s'avérer dangereux, ces derneirs pouvant sous certaines conditions éxécuter du code malicieux à votre insu

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Soit f ∈ L (E) un endomorphisme non nul nilpotent.
1. Montrer que 0 est une valeur propre de f.
2. On dit qu'une base B = {e1, e2, . . . , ei} de E est triangulaire pour f si
f(ei) ∈ Vect{e1, e2, . . . , ei} pour i = 1, 2, . . . , n
Montrer qu'il existe une base de E triangulaire pour f.
3. Soit B = {e1, e2, . . . , en} une base triangulaire pour f. On pose e₀ = 0, on appelle
indice de Jordan de B, noté iB, le plus grand entier i ≤ n tel que
f(ej ) = εi ej−1, εj ∈ {0; 1} pour j = 1, 2, . . . , i
Montrer que iB est défini et que iB ≥ 1.
4. Dans la suite, pour x ∈ E : on pose e(x) = inf{k ∈ N*/ fk(x) = 0E}.
(a) Soit B = {e1, e2, . . . , en} une base triangulaire pour f, montrer que pour tout entier
j avec 1 ≤ j ≤ iB, on a
fk(ej ) = ej-kpour 1 ≤ k ≤ eej

(b) Soit B = {e1, e2, . . . , en} une base triangulaire pour f. On suppose que iB < n et
on pose r = iB + 1, on a donc
f(er) = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αr er où αi∈ IK
On pose
I1 = {i ∈ {1, . . . ,r − 1} / f(e_i+1) = e₁}
I2 = {i ∈ {1, . . . ,r − 1} / i #1 et _i= 0}
Montrer que
f(er) =f(α_iei+1)+α_ie_i

(i∈I1 , i∈I2 respectivement )
(c) Avec les notations de 4.(b), on suppose que I2 = ∅ et on pose ek'=er-αiei+1
ej'=ej si  jr
Montrer que Montrer que B''
une base triangulaire pour f d'indice de Jordan supérieur strictement à iB
d) Toujours avec les notations de 4.(b), on suppose cette fois-ci que I2 6= ∅ et on pose :
m = sup{e(ei) / i ∈ I2}.
Soit j ∈ I2 tel que e(ej ) = m. On pose
....

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C'est le troisième fil que tu ouvres sur ce problème.

Au moins cette fois ci tu as corrigé l'erreur d'énoncé !

Je t'ai déjà écrit :

salut

ha ben enfin on l'a cette base triangulaire ... encore qu'il y a encore une erreur d'indice dans la définition ...

et cela après (Lien cassé) lui-même après Valeur propre

...

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