Bonjour,
je dois chercher les valeurs propres de l'endomorphisme définie par T(f)(x)=f(x+1) sur l'ev E des fonctions définies sur [0;+[, continue et tendant vers 0 en l'infini.
J'arrive à montrer que sp(T) I:=]-1,1[. C'est la réciproque qui me bloque depuis quelques heures maintenant.
Il s'agit de montrer que si a est une valeur propre de I alors on peut construire une fonction f de E tel que T(f)=af. Si tel est le cas, alors on a :
f(x+1)=af(x) puis par récurrence immédiate f(x+n)=anf(x).
f(1)=af(0)
Donc f est complètement déterminée sur [0;1].
Je note g la restriction de f sur cet intervalle. Je pose f la fonction définie par f(x+n)=ang(x).
Alors j'ai T(f)(x)=f(x+1)=a.g(x) et a.f(x)=a.f(x+0)=a.a0g(x)=a.g(x).
D'où T(f)=af.
Cette fonction semble convenir.
Mais j'ai des difficultés à montrer que celle-ci est bien continue sur E et de limite nulle en l'infini.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci
salut
une fonction continue sur un/le compact [0, 1] est bornée
donc si f(x + n) = an g(x) pour tout x de [0, 1] et a € ]-1, 1[ on a
si T(f) = g alors g(x) = f(x + 1)
si f est continue alors par composée g l'est aussi car la fonction x --> x + 1 est continue
ou si g = af alors de même g est continue
Je crains de n'avoir pas compris. Je suis Ok sur le fait que |f(x+n)||a|n max|f(x)|.
Ensuite je fais tendre n vers l'infini pour obtenir f(x+n)=0. Pourquoi cela implique que ?
connais-tu les suites géométriques ?
ben max |f(x)| est une constante ... et x € [0, 1] donc [x + n] € [n, n + 1]
Bonjour,
Tu pars d'une fonction , continue sur , telle que . Soit le maximum de la valeur absolue de .
Tu définis par pour , ceci pour tout entier naturel .
Donne une majoration de sur en fonction de de de .
N'est-ce pas plutôt ? Je ne vois pas le lien entre la fonction f ainsi définie et la fonction g !
Je peux alors écrire il me semble et obtenir le même résultat annoncé Valeur propre d'un endomorphisme original
Ok !
Dans ce cas, j'obtiens et en faisant tendre n vers l'infini, j'obtiens
Je ne vois pas pourquoi alors ?
si
donc si f est majorée sur [n, n + 1] alors elle est majorée sur [n + k, n + k + 1] par le même majorant ...
Bonjour,
J'atterris quelques jours après
En choisissant g décroissante sur [0;1], il me semble que la limite nulle en + pour f est facile à démontrer.
Par exemple avec g définie sur [0;1] par g(x) = (a-1)x +1.
On peut alors trouver une expression explicite de f(x) sur [0;+[ :
f(x) = aE(x)( (a-1)(x-E(x)) + 1 )
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