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Valeur propre d'un endomorphisme original

Posté par
Milka3
02-10-22 à 09:57

Bonjour,
je dois chercher les valeurs propres de l'endomorphisme définie par T(f)(x)=f(x+1) sur l'ev E des fonctions définies sur [0;+[, continue et tendant vers 0 en l'infini.

J'arrive à montrer que sp(T) I:=]-1,1[. C'est la réciproque qui me bloque depuis quelques heures maintenant.

Il s'agit de montrer que si a est une valeur propre de I alors on peut construire une fonction f de E tel que T(f)=af. Si tel est le cas, alors on a :

f(x+1)=af(x) puis par récurrence immédiate f(x+n)=anf(x).
f(1)=af(0)

Donc f est complètement déterminée sur [0;1].

Je note g la restriction de f sur cet intervalle. Je pose f la fonction définie par f(x+n)=ang(x).

Alors j'ai T(f)(x)=f(x+1)=a.g(x) et a.f(x)=a.f(x+0)=a.a0g(x)=a.g(x).
D'où T(f)=af.

Cette fonction semble convenir.

Mais j'ai des difficultés à montrer que celle-ci est bien continue sur E et de limite nulle en l'infini.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci

Posté par
carpediem
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 02-10-22 à 10:17

salut

une fonction continue sur un/le compact [0, 1] est bornée

donc si f(x + n) = an g(x) pour tout x de [0, 1] et a € ]-1, 1[ on a |f(x + n)| \le |a|^n Max |f(x)|


si T(f) = g alors g(x) = f(x + 1)

si f est continue alors par composée g l'est aussi car la fonction x --> x + 1 est continue

ou si g = af alors de même g est continue

Posté par
carpediem
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 02-10-22 à 11:25

REM : T est un endomorphisme donc T va de E dans E

la continuité est donc immédiate ...

Posté par
Milka3
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 02-10-22 à 12:18

Je crains de n'avoir pas compris. Je suis Ok sur le fait que |f(x+n)||a|n max|f(x)|.

Ensuite je fais tendre n vers l'infini pour obtenir lim_n f(x+n)=0. Pourquoi cela implique que lim_ {x\to\infty} f(x)=0 ?

Posté par
carpediem
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 02-10-22 à 12:32

connais-tu les suites géométriques ?

ben max |f(x)| est une constante ... et x € [0, 1] donc [x + n] € [n, n + 1]

Posté par
Milka3
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 03-10-22 à 14:28

Bonjour,

en fait je n'ai toujours pas compris pourquoi

\lim_{n\to \infty} f(x+n)=0\Rightarrow \lim_{x\to\infty} f(x)=0
?

Posté par
GBZM
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 03-10-22 à 14:43

Bonjour,

Tu pars d'une fonction g, continue sur [0,1], telle que g(1)=a g(0). Soit  M le maximum de la valeur absolue de g.

Tu définis f:\left[0,+\infty\right[\to \R par \large f(x)=a^n f(x-n) pour x\in [n,n+1[, ceci pour tout entier naturel n.
Donne une majoration de |f| sur [n,+\infty[ en fonction de n de de M.

Posté par
Milka3
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 03-10-22 à 16:10

N'est-ce pas plutôt f(x)=a^ng(x-n) ? Je ne vois pas le lien entre la fonction f ainsi définie et la fonction g !

Je peux alors écrire |f(x)|\le|a|^n\times M il me semble et obtenir le même résultat annoncé Valeur propre d'un endomorphisme original

Posté par
GBZM
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 03-10-22 à 16:47

Oui, tu as raison, c'est bien g(x-n) auquel je pensais.
Ça règle ton problème de compréhension ?

Posté par
Milka3
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 07-10-22 à 10:44

Ok !
Dans ce cas, j'obtiens  |f(x)|\le|a|^n\times M et en faisant tendre n vers l'infini, j'obtiens \lim_{n\to \infty} f(x)=0

Je ne vois pas pourquoi alors \lim_{x\to\infty} f(x)=0 ?

Posté par
carpediem
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 07-10-22 à 12:17

si f(x + 1) = a f(x) $ et $ a < 1 $ alors $ |f(x + 1)| < |f(x)|

donc si f est majorée sur [n, n + 1] alors elle est majorée sur [n + k, n + k + 1] par le même majorant ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 11-10-22 à 15:16

Bonjour,
J'atterris quelques jours après
En choisissant g décroissante sur [0;1], il me semble que la limite nulle en + pour f est facile à démontrer.
Par exemple avec g définie sur [0;1] par g(x) = (a-1)x +1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 12-10-22 à 09:59

On peut alors trouver une expression explicite de f(x) sur [0;+[ :
f(x) = aE(x)( (a-1)(x-E(x)) + 1 )

Posté par
Milka3
re : Valeur propre d'un endomorphisme original 02-11-22 à 15:15

Merci bcp !
Je suis revenu sur cet exercice aujourd'hui et je pense l'avoir mieux compris 🙂



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