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Valeur propre, symétrie
Bonjour à tous.
Soit f une application de 
^3 dans ^3 qui a pour valeur propres -1 et 1. Alors fof = Identité.
Je dois vérifier cette affirmation.
Si on était dans ^2, je saurais faire, et ce serait juste. Mais dans R^3, puisque je ne sais pas si f est diagonalisable et que je n'ai pas sa matrice, je ne sais pas comment répondre.
Par le calcul, j'ai bien essayé de trouver une matrice avec pour valeurs propres -1 et 1 et qui aurait donc un espace propre générateur d'un plan et l'autre d'une droite, mais je n'ai pas réussi à trouver une telle matrice (ce qui pour autant ne veut pas dire qu'il n'y en a pas, d'où mon blocage...)
Je vous remercie d'avance !
Bonjour Whitenex
Il faut d'abord que tu traduises ce que signifie que f possède les deux valeurs propres -1 et 1 ...
Ce que je sais, c'est qu'on a donc (f − λId)(v) = 0 avec v un vecteur =/=0 a au moins une solution non nulle si λ est valeur propre.
Je vois pas où ça me mène...
Sauf peut-être si on considère que f=λId donc fof=λ²Id ?
Dans ce cas, comme λ=
1, ça fonctionnerait... Je ne suis pas très à l'aise avec l'algèbre linéaire, je sais pas trop ce que j'ai le "droit" de faire.
Pardon, je suis allé chercher de quoi écrire.
Je trouve (1 2 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
Mais ta matrice n'a pas pour valeur propre -1 et 1, je me trompe ?
Mhh désolé j'avais mal calculé le discriminant.
J'aurais du penser plus tôt qu'étant triangulaire, elle avait bien pour valeurs propres 1 et -1.
Bon et bien merci !
@Whitenex
Quand tu es devant un problème ouvert de ce type, il faut décortiquer ce que tu possèdes et chercher à avancer. C'est le sens de mon premier message.
Il faut d'abord que tu traduises ce que signifie que f possède les deux valeurs propres -1 et 1 ...
Effectivement, cela signifie que le polynôme caractéristique de la matrice M liée à f, qui est de degré 3, possède au moins deux racines réelles. Par conséquent, tu sais qu'il en a une troisième qui, d'après les hypothèses, est soit 1 soit -1. Il est donc scindé dans
Il s'ensuit donc que la matrice est trigonalisable dans
Par suite, il existe une base de
Il vient alors que
Une fois arrivé là, tu peux facilement répondre à la demande initiale : justifier ou contrer l'affirmation !.
Ce que j'ai mis c'est un travail de recherche élémentaire que tu peux (et même dois) faire.
Je suis bien obligé de constater que trop souvent les élèves ne savent pas faire la relation entre ce dont ils disposent comme hypothèse et ce à quoi il doivent aboutir : c'est dramatique car si on ne connaît pas le but, on ne peut pas prendre le chemin pour y arriver.
C'est donc l'un des premiers objectifs que je fixe en cours particulier : apprendre à décortiquer un énoncer pour ne pas gaspiller son énergie.
1/ Je dois aller où ?
2/ de quoi je dispose : d'une part comme hypothèse, d'autre part comme connaissances dans mon cours (alias les compétences acquises) ... ?
__________________________
P.S. : Tu peux même aller plus loin; savoir, trouver une condition nécessaire et suffisante sur a,b et c pour que
)salut
une idée mais à verifier par plus competent 
si 
=1 est une valeur propre de f , alors
(f +1.Id) = 0 (=1) si je compose par (f -1.Id) avec =-1 alors (f +1.Id)(f-Id)=0 soit fof -f o Id + f o Id - Id o Id = f of - Id =0 et donc
fof = Id .... non?
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