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Valeur propre, symétrie

Posté par
Whitenex
12-10-17 à 14:46

Bonjour à tous.

Soit f une application de ^3 dans ^3 qui a pour valeur propres -1 et 1. Alors fof = Identité.

Je dois vérifier cette affirmation.
Si on était dans ^2, je saurais faire, et ce serait juste. Mais dans R^3, puisque je ne sais pas si f est diagonalisable et que je n'ai pas sa matrice, je ne sais pas comment répondre.
Par le calcul, j'ai bien essayé de trouver une matrice avec pour valeurs propres -1 et 1 et qui aurait donc un espace propre générateur d'un plan et l'autre d'une droite, mais je n'ai pas réussi à trouver une telle matrice (ce qui pour autant ne veut pas dire qu'il n'y en a pas, d'où mon blocage...)

Je vous remercie d'avance !

Posté par
jsvdb
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 14:52

Bonjour Whitenex
Il faut d'abord que tu traduises ce que signifie que f possède les deux valeurs propres -1 et 1 ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:01

Bonjour

Que se passe-t-il pour l'application dont la matrice dans la base canonique est

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Posté par
Whitenex
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:11

Ce que je sais, c'est qu'on a donc (f − λId)(v) = 0 avec v un vecteur =/=0 a au moins une solution non nulle si λ est valeur propre.
Je vois pas où ça me mène...
Sauf peut-être si on considère que f=λId donc fof=λ²Id ?
Dans ce cas, comme λ=1, ça fonctionnerait... Je ne suis pas très à l'aise avec l'algèbre linéaire, je sais pas trop ce que j'ai le "droit" de faire.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:12

As-tu calculé le carré de la matrice que je te propose?

Posté par
Whitenex
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:15

Désolé, je n'avais pas vu.
Je trouve Id pour ta matrice Camélia

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:18

Moi je ne trouve pas Id

Posté par
Whitenex
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:23

Pardon, je suis allé chercher de quoi écrire.

Je trouve (1 2 0)
                      (0 1 0)
                      (0 0 1)
Mais ta matrice n'a pas pour valeur propre -1 et 1, je me trompe ?

Posté par
Whitenex
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:27

Mhh désolé j'avais mal calculé le discriminant.
J'aurais du penser plus tôt qu'étant triangulaire, elle avait bien pour valeurs propres 1 et -1.
Bon et bien merci !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:35

Alors, c'était quoi la vraie question? C'était un vrai ou faux?

Posté par
Whitenex
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:40

Oui, il fallait justifier ou contrer l'affirmation !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeur propre, symétrie 12-10-17 à 16:47

Posté par
jsvdb
re : Valeur propre, symétrie 13-10-17 à 12:56

@Whitenex
Quand tu es devant un problème ouvert de ce type, il faut décortiquer ce que tu possèdes et chercher à avancer. C'est le sens de mon premier message.

jsvdb @ 12-10-2017 à 14:52

Il faut d'abord que tu traduises ce que signifie que f possède les deux valeurs propres -1 et 1 ...

Effectivement, cela signifie que le polynôme caractéristique de la matrice M liée à f, qui est de degré 3, possède au moins deux racines réelles. Par conséquent, tu sais qu'il en a une troisième qui, d'après les hypothèses, est soit 1 soit -1. Il est donc scindé dans \R.
Il s'ensuit donc que la matrice est trigonalisable dans \mathcal M_3(\R).

Par suite, il existe une base de \R^3 dans laquelle M = \begin{pmatrix} \varepsilon_1  &a  &b \\ 0 &\varepsilon_2  &c \\ 0 &0  &\varepsilon_3 \end{pmatrix} avec \{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\} = \{-1;1\}.

Il vient alors que M^2 = \begin{pmatrix} 1 &a(\varepsilon_1+\varepsilon_2)  &ac + b(\varepsilon_1 +\varepsilon_3) \\ 0 &1  &c(\varepsilon_2 +\varepsilon_3) \\ 0 &0  &1\end{pmatrix}

Une fois arrivé là, tu peux facilement répondre à la demande initiale :  justifier ou contrer l'affirmation !.

Ce que j'ai mis c'est un travail de recherche élémentaire que tu peux (et même dois) faire.

Je suis bien obligé de constater que trop souvent les élèves ne savent pas faire la relation entre ce dont ils disposent comme hypothèse et ce à quoi il doivent aboutir : c'est dramatique car si on ne connaît pas le but, on ne peut pas prendre le chemin pour y arriver.

C'est donc l'un des premiers objectifs que je fixe en cours particulier : apprendre à décortiquer un énoncer pour ne pas gaspiller son énergie.
1/ Je dois aller où ?
2/ de quoi je dispose : d'une part comme hypothèse, d'autre part comme connaissances dans mon cours (alias les compétences acquises) ... ?
__________________________
P.S. : Tu peux même aller plus loin; savoir, trouver une condition nécessaire et suffisante sur a,b et c pour que M^2 = I_3 c'est-à-dire encore que f \circ f = Id_{\R^3} (je reconnais que ça fait pas mal de cas à décortiquer )

Posté par
flight
re : Valeur propre, symétrie 14-10-17 à 08:57

salut

une idée mais à verifier par plus competent
si =1 est une valeur propre de f  , alors

(f +1.Id) = 0  (=1)  si je compose par (f -1.Id)  avec =-1    alors  (f +1.Id)(f-Id)=0    soit  fof  -f o Id  + f o Id  - Id o Id  =  f of   - Id =0  et donc  

fof = Id   .... non?

Posté par
jeanseb
re : Valeur propre, symétrie 14-10-17 à 10:23

Non.

Posté par
jeanseb
re : Valeur propre, symétrie 14-10-17 à 10:27

l=1 valeur propre dit :
. non pas que (f-1Id = 0), mais que le déterminant de (f-1Id) =0
(f-1Id = 0) signifie que f est l'identité
. et ce n'est pas f+1Id

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