Si tu es en dimension fini oui.
C'est ainsi en général que l'on recherche les sous espaces propres, on résoud le système qui en résulte.
Amicalement,
otto

ok cool merci otto

oui donc en fait si par exemple on me donne une matrice de Mn(R) correspondantà la matrice d'un endormophisme dans une base canonique   et que l'on me demande de donner ses valeurs propres, je sais que je dois trouver tel que f(v)=v pour tout v different du vecteur nul dans E.
Je vais alors chercher à résoudre:

Oui tu vas en fait chercher à résoudre
(M-)v=0
en fonction de v.
M étant ta matrice.
étant ta valeur propre.

Salut,


C'est quoi Mat_B(v) ? La matrice de v (un vecteur ?) dans la base B ? Si oui, c'est quoi la matrice d'un vecteur ?

Je pense que c'est une petite étourderie, il devait vouloir dire "le vecteur v"
Content de te revoir tutu j'espère qu'on se verra prochainement ailleurs

Salut tutu, je crois qu'il voulait simplement dire par , le vecteur colonne v avec ses coordonnées exprimées dans la base B.

oui c'est cela que j'appelle .
J'ai une autre question d'autre plus théorique:
Supposons que l'on ait une matrice carrée (M)  de taille n représentant l'application f dans la base canonique de
J'ai écris (très scolaire le jeune très scolaire :/) dans mon cours :

Quelqu'un pourrait t'il me détailler ces relations d'équivalence, et surtout la dernière svp.
Merci d'avance.
Jéjé

C'est quoi le rang d'une matrice?

hmm j'ai du aller chercher dans mon cours , et grosso modo je trouve que c'est le nombre de lignes non nulles

mais en fait si on a une ligne non nulle ca veut dire que la matrice est pas inversible. C'est pour ca que l'on cherche un rang inférieur à la taille de la matrice.
Ca c'est bon j'ai compris je crois.
L'autre difficulté c'est
Pourquoi faut t'il que la matrice ne soit pas inversible pour que soit valeur propre? Est ce parce que vérifie : f(v)=v et donc l'ensemble des vecteurs propres  est Ker(f-Id) et que si il est trivial, alors l'application f n'est pas injective et donc, elle ne peut etre bijective et donc la matrice n'est pas inversible !!!!!!
je crois que c'est ca l'idée no?

Non ce n'est pas ça le rang.
Le rang, c'est la dimension de l'espace d'arrivée.
Tu peux montrer que c'est également l'ordre de la plus grande matrice inversible extraite de ta matrice M.
Notamment, avec cette caractérisation ca devient trivial.

Si f(v)=av par exemple, alors
f(v)-av=0
Je pose g=f-a*id
il est clair que g(0)=0 et que g(v)=0 pour au moins un v non nul (en fait pour au moins toute la droite vectorielle v.R) donc g non injective, donc non bijective, donc non inversible.

En fait Ykroxor, le rang d'une matrice, c'est le nombre de lignes non nulles une fois que tu as échelonné ta matrice en lignes avec des opérations élémentaires sur les lignes, mais pas juste le nombre de lignes non nulles...
Par ex : .
Cette matrice n'a aucune ligne nulle, et pourtant son rang n'est pas 3 mais 2 parce que la troisième ligne est une combinaison linéaire des deux premières et en faisant les opérations puis et enfin  tu obtiens une matrice échelonnée .
et là tu peux dire que le rang de la matrice de départ correspond au nombre de lignes non nulles de la matrice échelonnée, c'est-à-dire 2...
Voila

oui ca j'avais bien compris cinnamon merci, on obtient une réduite de Gauss et ensuite si le rang de la matrice est inférieur au nombre de ligne, elle n'est pas inversible?

oui c'est ça