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Valeurs absolues
Bonjour, j'espère pouvoir être aider!
J'ai un dm à rendre et je ne vois pas vraiment comment faire les démonstrations de ces exercices...
1) Valeur absolue d'un quotient.
Démontrez que pour tout réel x et pour tout réel y non nul, |x/y| = |x|/|y|
Aide: Envisagez les différents cas selon la positivité ou non de x et y.
2) Valeur absolue d'un produit:
Démontrez que pour tout x et y réels, |xy|=|x|*|y|
Déduisez en que, quel que soit le réel x,|x²|=|x|²
3) Démontrer à l'aide d'un contre exemple:
On veut prouver que l'affirmation suivante est fausse: "Pour tous x et y réels, |x+y| = |x| + |y|"
Trouver UN couple (x;y) pour lequel |x+y| n'est pas égal à |x| + |y|.
J'espère qu'une âme charitable pourra m'aider rapidement!
Bonne journée à tous.
bonjour et bienvenue sur l'ile !
pour la question 1: que ce passe-t-il lorsque x et y sont positifs ?
que ce passe-t-il lorsque x et y sont négatifs ?
que ce passe-t-il lorsque x est positif et y est négatif ?
que ce passe-t-il lorsque x est négatif et y est positif ?
j'en fais un juste pour le plaisir....
si x et y sont positifs alors est positif d'où |
| =
d'autre part on a |x| = x et |y| = y donc =
et c'est gagné !
une vilaine étourderie !!!Si x et y sont positifs alors |x/y| = x/y et |x|/|y| = x/y
Si x et y sont négatifs alors |x/y| = x/y et |x|/|y| = x/y
Si x est positif et y est négatif alors |x/y| = -x/y et |x|/|y| = -x/y
Si x est négatif et y est positif alors |x/y| = -x/y et |x|/|y| = -x/y
?
c'est exactement ça ! Donc tu as démontré que dans tous les cas l'égalité est vérifiée (on parle de démonstration par disjonction des cas...)
Oui, je trouve pareil pour le produit, merci!
Mais pour le |x²| = |x|², je dois démontrer de la même manière?
Bonjour.
1) Un quotient a pour valeur absolue la valeur absolue du dividende divisée par la valeur absolue du diviseur.
Hors le cas où le dividende est nul, le signe du quotient est positif ou négatif selon que le dividende et le diviseur sont du même signe ou non.
Dans le membre de droite, on a rendu le dividende et le diviseur positifs. Ce membre est donc positif.
Le membre de gauche est positif, puisqu'il s'agit d'une valeur absolue.
Les deux membres étant positifs et de même valeur absolue ils sont égaux.
2) Même raisonnement.
Si x = y, |xy|=|x|*|y| devient : |x.x| = |x|*|x| soit |x²|=|x|²
3) Il suffit que l'un des nombres soit positif et l'autre négatif.
Supposons que x soit positif et y négatif.
|x+y| = |(|x|-|y|)|
si |x| 
|y|
|(|x|-|y|)| = |x|-|y| = (|x|+|y|) - 2|y|
si |x| < |y|
|(|x|-|y|)| = |(-(|x|-|y|))| = |(|y|-|x|)| = |y|-|x| = (|x| + |y|) - 2|x|
Mais pour le |x²| = |x|², je dois démontrer de la même manière?
Si x = y, |xy|=|x|*|y| devient : |x.x| = |x|*|x| soit |x²|=|x|²
merci plumemeteore
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