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valeurs propres
bonjour, je cherche un exercice de concours, c'est un QCM, mais j'ai du mal
on nous donne E un espace vectoriel euclidien de dimension 4 rapporté à une base orthonormé B (e1,e2,e3,e4)
on considère l'endomorphisme f de E qui à tout vecteur (x,y,z,t) associe
(a²x+aby+abz+b²t,abx+a²y+b²z+abt,abx+b²y+a²z+abt,b²x+aby+abz+a²t)
je déduis la matrice M de f (qui j'espère déjà est bonne)
M= a² ab ab b²
ab a² b² ab
ab b² a² ab
b² ab ab a²
symétrique réelle donc diagonalisable
on nous demande le polynôme caractéristique parmi 4 réponses qui là sont un peu trop longues à écrire, je vais en mettre une, ca m'aidera deja que l'on m'eclaire sur une, les autres ont toutes (ou presque) le même terme en facteur devant
X(x)=((a+b)²-x)|1 ab ab b² |
|1 a²-x b² ab |
|0 b²-a²+x a²-b²-x 0 |
|0 0 0 a²-b²-x |
déja pour le terme en facteur devant je ne vois pas comment faire, je me rend bien compte que ce terme a été "sorti" de la première colonne mais je ne vois pas comment le faire apparaitre sans que les autres termes de la lignes ne bougent
j'arrive bien à avoir 0 en (3,1) mais je ne vois pas pour la dernière ligne donc soit c'est faux soit je me trompe
mais dans les 2 cas je ne vois pas
voila, si quelqu'un pouvait m'éclairer un peu ca serait sympa
merci d'avance
Bonjour.
Je pose : P(X) = det(M - XI).
On ne modifie pas le déterminant en ajoutant toutes les lignes sur la première.
La nouvelle première ligne devient : (a+b)² - X (a+b)² - X (a+b)² - X (a+b)² - X
Les autres lignes restent inchangées.
On sait qu'un déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne, donc, on peut mettre (a+b)² - X en facteur.
La nouvelle première ligen devient : 1 1 1 1
Les autres lignes inchangées.
En ignorant momentanément ce (a+b)² - X en facteur, nous allons ôter aux colonnes 2,3,4 la colonne 1. Cela donne :
P(X) = [(a+b)² - X]
On développe sur la première ligne :
P(X) = [(a+b)² - X]
On développe sur la dernière colonne :
P(X) = [(a+b)² - X][a² - b² - X]
Je trouve finalement (à vérifier)
P(X) = [X - (a+b)²][X - (a-b)²][X - (a²-b²)]²
plus RR.
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