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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Valeurs propres d'une transposition

Posté par
Vanek
12-10-18 à 18:19

Bonjour,
J'ai besoin d'aide sur un exercice voilà :
Nous avons une transposition qui est une application linéaire de Rn vers Rn et qui a x associe (x1,...,xj,...,xi,...,xn) et je dois déterminer ses valeurs propres et ses espaces propres. Mais je ne sais pas du tout comment faire même en essayant avec la definition de valeur propre.
Merci d'avance pour vos réponses 😊

Posté par
larrech
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 18:52

Bonjour,
Regardez ce qu'il advient des vecteurs tels que x_i=x_j=0 , puis de ceux dont toutes les coordonnées sont nulles sauf ces deux là  dans le cas où elles ont des valeurs opposées.

Posté par
carpediem
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 18:52

salut

que peux-tu dire si x_i = x_j ?

et cette rédaction est très maladroite !!!

à la transposition t = (i, j) de \sigma_n on associe l'endomorphisme : T  :  (x_1, x_2, ...,x_i, ...x_j, ... x_n) \mapsto (x_1, x_2, ...., x_j, ..., x_i, ...x_n)

Posté par
Vanek
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 20:20

Désolé pour la rédaction (c'était écrit comme ça dans mon énoncé).., 😉
Si xi=xj on en revient à la matrice non transposée.

Posté par
carpediem
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 20:24

Posté par
Vanek
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 20:47

J'ai écrit n'importe quoi... mais vraiment je vois pas ce qu'il se passe si xi=xj

Posté par
carpediem
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 20:48

Posté par
Vanek
re : Valeurs propres d'une transposition 12-10-18 à 21:08

Ça ne m'aide pas beaucoup... 😆

Posté par
carpediem
re : Valeurs propres d'une transposition 13-10-18 à 08:30

on est deux à te donner une réponse ...

sais-tu ce qu'est une valeur propre ?

larrech te donne même l'occasion d'en avoir une deuxième ...

il a cependant fait une petite erreur : c'est x_i - x_j = 0

...

Posté par
etniopal
re : Valeurs propres d'une transposition 13-10-18 à 08:56

Soient n un entier > 2 ,   (i , j)   {1,2,.....n}² tel que i < j  et T L(Kn)  telle que T(ei) = ej , T(ej) = ei et T(ek) = ek pour k   {1,2,.....n} .

Si F est le sous-vectoriel de Kn engendré par {ei , ej} et G celui engendré par { ek │ k i et k j } on obtient 2 sv supplémentaires  stables pour T (  T(F) = F et T(G) = G ) .
.
Il est évident  ( en prenant des bases convenables de F et G) que  Det(X.Id - T) = (X  + 1)²Xn-2  et donc que vp(T) = {-1 , 1}
En outre  Ker(T  - (-Id)) =  F et Ker( T - Id) = G .

Posté par
malou Webmaster
re : Valeurs propres d'une transposition 13-10-18 à 09:00

Vanek, merci de mettre ton profil à jour....



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