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valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme

Posté par
parrax 10-12-18 à 11:04

  Bonjour,

  Je voudrais votre avis pour un exercice:

  "Soit E l'espace vectoriel engendré par les fonctions f_{k}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow e^{kx}, pour k=0,...,4. Déterminer toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres de l'endomorphisme D:E\rightarrow E, f\rightarrow f''-3f'+2f."

On calcule:
D(f_{0})=2, D(f_{1})=0, D(f_{2})=0, D(f_{3})=2e^{3x}, D(f_{4})=6e^{4x}

M= \begin{pmatrix} 2&0 &0 &0 & 0\\ 0&0 &0 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 &0 \\ 0&0 &0 &2 &0 \\ 0&0 &0 &0 &6 \end{pmatrix}
La matrice associée à D.
Alors 2 est valeur propre (double) ainsi que 6.
Pour trouver les vecteurs propres associé, on résout Mx=\lambda x. Finalement, E_{2}= Vect(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix})
et E_{6}=Vect(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}) sont les espaces propres associés.

Qu'en pensez-vous? Merci.

Posté par
luzakre : valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme 10-12-18 à 11:26

Bonjour !
2 valeur propre double, 6 valeur propre simple : pour une matrice à 5 lignes, il en manque !
Comme elles sont évidentes ainsi que les espaces propres associés je te laisse le temps de "regarder" ta matrice.
L'espace propre associé à 2 (évident lui aussi) est de dimension 2, merci de finir tes calculs !

Posté par
lafol Moderateurre : valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme 10-12-18 à 11:51

Bonjour

la matrice étant déjà diagonale, c'est vite vu pour lire les valeurs propres sur la diagonale, et pour trouver les vecteurs propres associés, dans la base dans laquelle est écrite la matrice ...


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