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Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 11:55

allez, pour le fun, je ne résiste pas à te donner une formule... pour p premier et N2

\Large \displaystyle v_p(N) = \sum_{\alpha=1}^{E\left(\frac{\ln(N)}{\ln(p)}\right)} \; E\left(\dfrac{N}{p^\alpha}\right)

E( ) étant la partie entière

plaisanterie mise à part :


les multiples de K sont : K ; 2K ; 3K ; ... nK ...

et je cherche ceux qui sont dans [2 ; Q]

donc il y en a n où n est le plus grand entier tel que nK Q

c'est à dire n Q/K

et donc n=E(Q/K)

ça te va comme "pédagogie" ça ... rigolo va !

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:01

matheuxmatou @ 12-02-2020 à 11:55

allez, pour le fun, je ne résiste pas à te donner une formule... pour p premier et N2

\Large \displaystyle v_p(N) = \sum_{\alpha=1}^{E\left(\frac{\ln(N)}{\ln(p)}\right)} \; E\left(\dfrac{N}{p^\alpha}\right)

E( ) étant la partie entière

plaisanterie mise à part :


les multiples de K sont : K ; 2K ; 3K ; ... nK ...

et je cherche ceux qui sont dans [2 ; Q]

donc il y en a n où n est le plus grand entier tel que nK Q

c'est à dire n Q/K

et donc n=E(Q/K)

ça te va comme "pédagogie" ça ... rigolo va !


Oui cette fois c'est très clair.

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:02

faut pas rigoler, ce genre de raisonnement tu dois le trouver tout seul ... non ?

Posté par
alb12re : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:04

je me plante à chaque fois ! Je recommence
peut etre ecrire une division ?
*2*4*6*8*10*11*12*...............................................98*100
combien de multiples de 2 ?
combien de multiples de 4 ?
combien de multiples de 5?
combien de multiples de 25 ?

*2*4*6*8*10*11*12*...............................................*n
combien de multiples de 2 ?
combien de multiples de 4 ?
combien de multiples de 5?
combien de multiples de 25 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:08

matheuxmatou @ 12-02-2020 à 12:02

faut pas rigoler, ce genre de raisonnement tu dois le trouver tout seul ... non ?


Oui mais où utilisez vous que nK \geq 2 ?

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:10

d'ailleurs je viens de voir que le factoriel avaient "sauté" ...

faut lire vp(N!) =

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:12

c'est quoi cette question ? K vaut au moins 2, ses multiples sont fatalement supérieurs ou égaux à 2 ... !

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:14

Où utilisez vous dans le raisonnement que K \geq 2 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:24

@alb12

Je reviens à l'exercice initial si cela ne vous dérange pas.

Je m'intéresse à l'intervalle [1,1000]. J'utilise le raisonnement de Matheux.
Le nombre de multiples de 2 est : E(500)=500
Le nombre de multiples de 4 est E(1000/4)=250
Le nombre de multiples de 8 est : E(1000/8)=125
Le nombre de multiples de 16 est E(1000/16)=62
Le nombre de multiples de 32 est E(1000/32)=31
Le nombre de multiples de 64 est E(1000/64)=15
Le nombre de multiples de 128 est E(1000/128)=7
Le nombre de multiples de 256 est E(1000/256)=3
Le nombre de multiples de 512 est E(1000/512)=1
On s'arrête ici car 512 \times 2 > 1000

Le plus grand facteur dans 1000 ! est 1000.

Ainsi \boxed{v_2(1000!)=994}

Posté par
lionel52re : Valuation 2 adique 12-02-20 à 12:26

Bravo

Posté par
alb12re : Valuation 2 adique 12-02-20 à 13:00

bon maintanant il ne reste plus qu'à ecrire un programme pour caculer la valuation p-adique de la factorielle d'un entier

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation 2 adique 12-02-20 à 13:09

Je préfère éviter.

Je n'ai pas le temps d'étudier la programmation pour l'instant. Je ferai ça quand j'aurai terminé le programme de MPSI.

Le CAPES est dans moins de 2 mois.

Posté par
Ulmierere : Valuation 2 adique 12-02-20 à 13:15

Pour la valuation 2-adique, c'est facile 

v2(n)=lambda n:n-__import__('gmpy').popcount(n)


Pour la p-adique, plus compliqué
\nu_2(n!) = \dfrac{n-\left\lfloor \log_p n\right\rfloor -1}{p-1}

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation 2 adique 12-02-20 à 13:32

C'est du chinois, quand j'aurais terminé le programme de MPSI donc dans 6 mois minimum, j'achèterai un bouquin de Python appliqué aux mathématiques.

Posté par
alb12re : Valuation 2 adique 12-02-20 à 14:17

Ulmiere @ 12-02-2020 à 13:15

Pour la valuation 2-adique, c'est facile 
v2(n)=lambda n:n-__import__('gmpy').popcount(n)

Ce n'est pas un peu hermetique pour un debutant ?

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 16:08

Ulmiere @ 12-02-2020 à 13:15

Pour la valuation 2-adique, c'est facile 
v2(n)=lambda n:n-__import__('gmpy').popcount(n)


Pour la p-adique, plus compliqué
\nu_2(n!) = \dfrac{n-\left\lfloor \log_p n\right\rfloor -1}{p-1}


je présume que p=2 dans cette "formule"

ça me parait faux...

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 16:13

Ramanujan : ben voilà, tu y es arrivé !

et c'est même de cette façon-là qu'on peut le faire pour tout entier p et qu'on obtient laz formule

\large \displaystyle v_p(N !) = \sum_{\alpha=1}^{E\left(\frac{\ln(N)}{\ln(p)}\right)} \; E\left(\dfrac{N}{p^\alpha}\right)

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 16:21

alb12 @ 12-02-2020 à 14:17

Ulmiere @ 12-02-2020 à 13:15

Pour la valuation 2-adique, c'est facile 
v2(n)=lambda n:n-__import__('gmpy').popcount(n)

Ce n'est pas un peu hermetique pour un debutant ?


même pour un pas débutant ... c'est incompréhensible !

Posté par
Ulmierere : Valuation 2 adique 12-02-20 à 17:40

Ma formule est valable pour tout p, mais il faut bien-sûr lire \nu_p(n!) = \cdots. Ca s'appelle la formule de Legendre.

Dans le cas de la base 2, le résultat est simplement n-(nombre de bits 1 dans l'écriture en base 2 de n) = n-popcnt(n).

gmpy intègre une fonction popcount plus rapide que bin(n).count('1')
en C++ (précision 64 bits par contre, attention) sous unix on aurait plutôt __builtin_popcount (il existe aussi, mais c'est hors-sujet, une fonction bien pratique __gcd, ce qui évite d'avoir à la redéfinr à chaque fois que tu fais un test)
en assembleur (intel) x86-x64 , il y a l'instruction popcnt sur la plupart des procs
etc

Posté par
Ulmierere : Valuation 2 adique 12-02-20 à 17:42

ah oui non ça marche pas tout à fait, il faut compter les zéros aussi c'est un poil plus compliqué

Posté par
Zormuchere : Valuation 2 adique 12-02-20 à 17:49

Parmi les entiers de 1 à 1000, lesquels a la plus grande valuation p-adique ? c'est évidemment 512 qui a une valuation de 9, et il est le seul car le suivant serait (non pas 1024 qui aurait 10) 1536

de là, tu peux chercher tous ceux qui ont une valuation 2-adique de 8, du moins compter combien il y en a
etc en remontant jusqu'à 1

Posté par
matheuxmatoure : Valuation 2 adique 12-02-20 à 17:51

Ulmiere

ben oui essaye

v2 ( 1000 !) avec ta formule ça marche pas du tout ! (elle donne 990 ... pas 994)

ni

v3(10 !) qui donnerait ... 7/2 d'après cette formule ! même pas un entier !

bref !

Posté par
Zormuchere : Valuation 2 adique 12-02-20 à 17:54

je n'avais pas tout lu, en fait la réponse était déjà trouvée

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