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Variable aléatoire centrée réduite
Bonjour j'ai corrigé moi même cette exercice j'aimerai savoir si la correction apporté et correcte sinon pouvez vous me dire quels sont mes erreurs .
Merci
Soit X une variable aléatoire de loi N(0,1). Considérons la nouvelle variable aléatoire Y=X² à valeurs dans R^+ .
1) Quelle est la fonction de répartition de la variable aléatoire Y ?
Soit Y≥0
G(y)=P(Y≤y)
→=P(X^2≤y)
→=P(-√y≤X≤√y)
→=F(√y)-F(-√y)
→=2F(√y)-1
→G(y)=2√y-1
2) Quelle est la densité de la variable aléatoire Y ?
G'(y)=1/√2πy e^(-y/2)
∫_0^∞〖1/√2πy e^(-y/2) dy)〗
3) En utilisant uniquement un résultat du cours, rappeler les valeurs de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire Y. (Aucun calcul n'est demandé)
E(Y)=1 et V(X) = 2
4) Calculer P(|Y-1|<0,5).
→=P(X^2-1<0,5)
→ =P(X^2<1,5)
→=P(X<√1,5) = 0,89
Indication : Pour une variable aléatoire X de loi N(0,1), les tables statistiques donnent :
P(X≤√0,05)=0,76 ;P(X≤1)=0,84 ;P(X≤√1,5)=0,89 ;P(X≤3/2)=0,93
5) Déterminer le réel a tel que P(Y>a)=0,05
→P(X²>a)=0,05
→ 1 - P(X^2≤a)=0,05
→P(X^2≤a)=0,95
→P(X≤√a)=0,95
→a≈3/2
j'aimerai savoir si la correction apportée est correcte sinon pouvez vous me dire quelles sont mes erreurs . ***
g(y) = 0
mais j'avoue ne pas avoir compris pourquoi en dérivant G(y) ça donne 1/
2
y e-y/2
et non 1/2y
Je viens de comprendre qu'il s'agit de la densité de la loi normale centrée réduite mais est ce qu'il me manquerai pas un 2 sur le y de l'exponentielle et pourquoi il y a un autre y a l'intérieur de la racine ?
Bonsoir,
outre la question de lafol, à la quelle je te conseille vivement de répondre, il y a un autre problème dans ta réponse à la question 1).
J'imagine que F est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et G celle de Y.
Et je me demande comment tu passes de G(t)=2F(t)-1 ( ce qui est juste) à G(t)=2t-1 ( ce qui est absurde ).
Pour la question 2) ton résultat est également faux.
Si t>0 on a G(t)=2F(t)-1.
Et il suffit d'utiliser la formule : avec h=F.
Or tu connais F'.
bonsoir,
autre erreur
dans 4) il s'agit la valeur absolue de Y-1 si je lis bien
de plus X²<1,5 ce n'est pas X<1,5
erreur aussi dans 5)
Verdurin J' ai trouvé ce résultat parce que je me suis inspiré d'un exercice similaire sur la loi exponentielle qu'on a fait avec le professeur, je n'ai pas compris non plus comment on passe de cette fonction à l'autre du coup j'ai appliqué "bêtement" , quelle doit être ma fonction de répartition donc ?
J'ai tout corrigé, normalement ca devrait être bon mais je arrive pas a faire la question 5)
1) Quelle est la fonction de répartition de la variable aléatoire Y ?
Soit Y≥0
G(y)=P(Y≤y)
→ =P(X^2≤y)
→ =P(-√y≤X≤√y)
→ =F(√y)-F(-√y)
→ =F(√y)-(1-F(√y))
→ =G(y)=2F(√y)-1
2) Quelle est la densité de la variable aléatoire Y ?
g(y)=2* 1/(2√y)*f(√y)
→g(y)=1/√2πy e^(-y/2)
3) En utilisant uniquement un résultat du cours, rappeler les valeurs de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire Y. (Aucun calcul n'est demandé)
E(Y)=1 et V(X) = 2
4) Calculer P(|Y-1|<0,5).
→=P(-0,5<Y-1<0,5)
→ =P(0,5<Y<1,5)
→ =G(1,5)-G(0,5)
→ =2F(√1,5)-1-(2F(√0,5)-1)
→ =2F(√1,5)-2F(√0,5)
→ =2*0,89-2*0,76=0,26
5) Déterminer le réel a tel que P(Y>a)=0,05
→P(Y>a)=0,05
→1 - P(Y≤a)=0,05
→1-G(a)=0,05
→1-(2F(√a)-1)=0,05
→2-2F(√a)=0,05
→2F(√a)=1,95
→F(√a)=0,975
salut
je me suis inspiré d'un exercice similaire sur la loi exponentielle qu'on a fait avec le professeur, je n'ai pas compris non plus comment on passe de cette fonction à l'autre du coup j'ai appliqué "bêtement"
à quoi servent ces flèches alors qu'on a une suite d'égalité ... qu'il serait bien d'apprendre à écrire en ligne ... pour porgresser ...
ou au contraire à quoi servent ces = dans une suite d'équivalences ...
enfin il faudrait trouver a pour la question 5/
on justifiera évidemment que a est évidemment positif ...
on peut aussi passer par la fonction de répartition de Y ... comme tu l'as fait
on peut évidemment prendre une calculatrice et pratiquer ce qu'on a appris en terminale : déterminer le fractile correspondant à une probabilité
...
salut
qu'on s'inspire d'un exercice fait en classe est une chose, ne pas réfléchir et appliquer bêtement quand on est en licence en est une autre ... qui ne te permettra surement pas de réussir
...
Bonjour,
Je réalise effectivement que j'ai de sérieuses lacunes traduisant de ma part un travail trop superficiel, je me suis contenté tout au long de l'année de simplement refaire les exercices sans comprendre ni maîtriser les cours.
Je me suis un peu laissé emporté par cette méthode de travail qui était la bonne en prépa car on était contraint de connaître le cours sur le bout des doigts mais pas à la fac où l'on doit être autonome.
Merci pour les précieux conseils, je m'appliquerai afin de réussir mon épreuve.
Je me suis un peu laissé emporté par cette méthode de travail qui était la bonne en prépa car on était contraint de connaître le cours sur le bout des doigts mais pas à la fac où l'on doit être autonome.
tout aussi faux
fac ou prépa il est certain qu'il faut connaitre le cours ...
mais dans tous les cas la réflexion pallie toujours l'absence de connaissance
tout aussi faux
fac ou prépa il est certain qu'il faut connaitre le cours ...
mais dans tous les cas la réflexion pallie toujours l'absence de connaissance
Il faut, pour réussir ... je suis d'accord mais ce n'est pas nouveau qu'à la fac personne ne nous oblige ni a venir en cours ni a le connaître, alors qu'en prépa un étudiant risque sa place.
je n'ai jamais été obligé d'apprendre et de travailler (ou de travailler pour apprendre) : je l'ai décidé ...
personne ne m'a obligé à aller en cours ... mais j'en ai raté aucun parce que je l'ai décidé ...
et c'est à toi de décider si tu veux travailler comme une machine et ne rien comprendre ou de prendre le temps de comprendre ce que tu fais et t'enrichir d'un véritable savoir...
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