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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Variable aléatoire continue fonction exponentielle
Posté par vicinet
Bonjour à tous,
Je bloque sur le début d'un exercice, le voici :
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1.
Montrer que pour tout t > 0 : P(X>tY) = 1 / (1+t)
Je sais déjà que la fonction de densité de X est : f(x) = e^{-x} si x ≥ 0 ou 0 sinon, pareil pour Y.
J'aurais tendance à écrire : P(X>tY) = P(X/Y > t), mais sans grande conviction, je ne crois pas avoir compris comment manipuler deux variables aléatoires en même temps.
La suite de l'exercice demandera d'en déduire la densité de la variable aléatoire X/Y, et de retrouver ce résultat là à l'aide de la méthode de la fonction muette, si cela peut vous aider.
Merci d'avance !
salut
il me semble que :
pour tout réel a : P(X > tY) = P(X > ta et Y > a)
or X et Y sont indépendantes donc ...
Okay ! Donc par indépendance, on a : P(X>tY) = P(X>ta) + P(Y>a)
Maintenant, on peut dire que : P(X>tY) = -P(X≤ta) - P(Y≤a), d'où
P(X>tY) = -F_{X}(ta) -F_{Y}(a), est-ce bien ça ?
Ah oui, pardon, P(X>tY) = P(X>ta).P(Y>a)
Ainsi, par le même raisonnement : P(X>tY) = 2 - F_{X}(ta) - F_{Y}(a)
pas certain que la deuxième ligne soit exacte ...
par contre pourquoi ne pas finir le calcul avec les exponentielles puisque tu connais les lois et leur expression ?
En fait je ne vois pas comment je vais aboutir au résultat demandé.
Ça donnerait : P(X>ta).P(Y>a) = e^{-ta} . e^{-a} = e^{-ta-a}
Non ?