Bonsoir,

Une tirelire contient n pièces de 5$ chacune et (n+1) pièces de 10$ chacune (𝑛 > 1). On extrait simultanément et au hasard deux pièces de cette urne et on s'intéresse à la somme S des valeurs des billets ainsi obtenus.
En admettant l'équiprobabilité de tous les événements élémentaires :
1. Ecrire la loi de 𝑆.
2. Calculer en fonction de 𝑛 la probabilité 𝑝 que 𝑆 soit paire.
3. Montrerque1/3<𝑝<1/2.

1. Si on extrait 2 billets de 5$, S=10$.
Si on extrait 2 billets de 10$, S=20$.
Si on extrait 1 billet de 5$ et un billet de 10$, S=15$.
D'où S={10;15;20}

Or,
P[S=10]= C²_n/C²_2n+1= (n-1)/(4n+2)

P[S=15]= (C¹_n*C¹_n+1)/C²_2n+1 =(n+1)/(2n+1)

P[S=20]= C²_n+1/C²_2n+1= (n+1)/(4n+2)

D'où la loi de probabilité:

S=si	P[S=si]
10	(n-1)/(4n+2)
15	(n+1)/(2n+1)
20	(n+1)/(4n+2)

2. 𝑝 a lieu si S=10 ou S=20 donc,
𝑝=(n-1)/(4n+2)+(n+1)/(4n+2)=n/(2n+1)

3. Pour n = 2, 𝑝=2/5 or 1/3<2/5<1/2 donc pour n=2 , 1/3<𝑝<1/2
Supposons que 1/3<𝑝<1/2 est vraie pour n et démontrons que 1/3<𝑝<1/2 est vraie pour n+1.


J'essaye de démontrer que 1/3<𝑝<1/2 est vraie par reccurence mais je n'obtiens pas le résultat voulu.
Merci