Comme c'est long, j'ai juste lu le premier.

Exercice 1)

1)
a)
P = (3/10)*(2/9) + (3/10)*(2/9) + (4/10)*(3/9) = 24/90 = 4/15

b)
P = 1 - proba de 2 jetons de même numéro
P = 1 - (4/15) = 11/15

2)
Cas possibles de gain:
2; 4; 6; -2 ; -3

3)
X(2) lorsque on tire 2 jetons marqués 1:
X(2) = (3/10)*(2/9) = 1/15

X(4) lorsque on tire 2 jetons marqués 2:
X(4) = (3/10)*(2/9) = 1/15

X(6) lorsque on tire 2 jetons marqués 4:
X(6) = (4/10)*(3/9) = 2/15

X(-2) lorsque on tire 1 jetons marqués 2 et un marqué 1:
X(-2) = 2*(3/10)*(3/9) = 1/5

X(-3) lorsque on tire 1 jetons marqués 3 et un différent de 3:
X(-3) = 2*(4/10)*(6/9) = 8/15

2*X(2) + 4*X(4) + 6*X(6) - 2*X(-2) - 3*X(-3) = (2/15) + (4/15) + (12/15)
- (6/15) - (24/15) = -12/15 = -4/5

En moyenne, on perd en jouant à ce jeu.

Je n'accepte donc pas d'y jouer.
-----
Sauf distraction.  
Refais les calculs, je n'aime pas les proba.

Bonsoir,

J'apporte aussi ma participation avec quelques éléments de réponse pour l'exercice
2:

Exercice 2)

1)
On a admis qu'un tireur atteint toujours la cible. Donc la somme
des quatre proba doit être égale à 1 donc :
La probabilité d'atteindre la zone 4 est : 1-1/2-1/4-1/6=1/12 .


2) Un tireur tire 2 fois de suite. Soit X la variable aléatoire égale
à la somme des points obtenus au cours des 2 tirs.
a) X peut prendre les valeurs 2;4;6;8;10;11;13;15;20
P(X=2)=P(1 et 1)=1/2²=1/4
P(X=4)=P(1 et 3)=2*1/2*1/4=1/4
P(X=6)=P(1 et 5)+P(3 et 3)=2*1/2*1/6+1/4²=...

...

b) E(X)=somme des xi*P(X=xi)

3) La probabilité pour un tireur qui effectue 3 tirs successifs
d'obtenir au moins 4 points = 1- la proba d'obtenir moins
de 4 points (soit la proba d'obtenir 3 points)=1-(1/2)³

@+

Bonjour,

Exercice3)

1) Il y a 6*6 = 36 éventualités. Chaque éventualité a donc une proba
de 1/36.

2) a) X peut prendre les valeurs 1;2;3;4;5;6;7.
b) Pour chaque valeur x que peut prendre X, il suffit de trouver le
nombre d'éventualités qui correspondent à cette valeur et on
divisera ce nombre par 36 pour obtenir la probabilité
de l'évènement (X=x).

X=1 : (2;1) ; (4;1) ; (6;1) ; (5;1)
Donc P(X=1)=4/36

X=2 : (2;2) ; (4;2) ; (6;2) ; (1;1) ; (3;1) ; (5;2)
Donc P(X=2)=6/36

X=3 : (2;3) ; (4;3) ; (6;3) ; (1;2) ; (3;2) ; (5;3)
Donc P(X=3)=6/36

De même :
P(X=4)=6/36
P(X=5)=6/36
P(X=6)=6/36

X=7 : (1;6) ; (3;6)
Donc P(X=7)=2/36

3) E(X)=1*4/36+2*6/36+3*6/36+4*6/36+5*6/36+6*6/36+7*2/36
= 138/36=23/6

4) F(x)=P(X<=x)
On obtient une fonction constante par morceaux.

@+

Salut !

Merci Victor et Jp pour votre aide.
Si j'ai des questions, je vous réecris...
Bises
A+
Nathalie

Bonjour !

Grâce aux aides de Jp et Victor, j'ai bien avancé dans mes énoncés,
cependant quelques points sont en suspens. Aussi, j'aimerais
savoir si mes réponses sont justes.

Exercice 1)

J'ai revu les calculs de Jp et je comprends pas comment il a fait pour
calculer la proba.

P = (3/10)*(2/9) + (3/10)*(2/9) + (4/10)*(3/9) = 24/90 = 4/15

Je comprends pas comment on trouve (2/9) et (3/9) ?

Ensuite pour le calcul de l'espèrance mathématique, je trouve
:
-8/15 ? c'est ok ou pas ?

Exercice 2)

Pour la question 2), quand je calcule les valeurs que doit prendre X;
dois-je trouver 1/4 partout  ? où il est possible que je trouve des
valeurs comme 1/12 ou 1/36 etc ???

Pour la question 3) je trouve E(X) = 70/12 soit 5.83333 . C'est
ok ?

Exercice 3)

Pour la question 2) comment il se fait que X peut prendre comme valeur
"7" ?

Toujours pour cette même question, je comprends pas comme on fait pour trouver
les couples (A,B) ?

Pour la question 4) La fonction doit être en escalier ? pour la tracer
je prends les valeurs xi et pi ?

Merci beaucoup !!
A+
Nathalie

Exercice 1.

P = (3/10)*(2/9) + (3/10)*(2/9) + (4/10)*(3/9) = 24/90 = 4/15  

Il y a 10 jetons en tout, 3 sont marqués 1.
La proba de tirer un n°1 est donc de 3/10

A ce moment, il reste 9 jetons en tout et 2 encore sont marqués 1.
(Car un jeton n°1 a été tiré en premier lieu)
-> la proba de tirer un second n°1 est de 2/9

Donc la proba de tirer 2 jetons n° 1 est de (3/10)*(2/9) = 6/90
----
Même raisonnement pour calculer la proba de tirer 2 jetons n°2, la proba
est aussi de (3/10)*(2/9) = 6/90
-----
Calcul de la proba de tirer 2 jetons n° 3

Il y a 10 jetons en tout dont 4 n° 3
-> proba de (4/10) de tirer un jeton n° 3

Il reste alors 9 jetons dont 3 n°3
-> La proba de tirer un secon n°3 est de (3/9)

La proba de tirer 2 jetons n° 3 est donc: (4/10)*(3/9) = 12/90.
-----
La proba de tirer soit 2 n°1, soit 2 n°2, soit 2 n° 3 est la somme des
proba calculées ci-dessus.

P = (6/90) + (6/90) + (12/90) = 24/90 = 4/15
----------
Ensuite, pour moi l'espérance mathématique est celle que j'ai indiquée
soit:

2*X(2) + 4*X(4) + 6*X(6) - 2*X(-2) - 3*X(-3) = (2/15) + (4/15) + (12/15)
- (6/15) - (24/15) = -12/15 = -4/5
-----
Sauf distraction ou erreur.  

Je laisse Victor répondre pour les problèmes qu'il a solutionné.

Bonsoir !

Merci Jp pour l'explication ! J'ai compris comment tu as fais
pour les probabilités.

En ce qui concerne le calcul de l'espèrance mathématique , je pensais
qu'elle se calculait ainsi :
  


Pour moi, je calcule E(X) = 2*1/15+4*1/15+6*2/15+(-2)*2/5+(-3)*8/15= -8/15
(Calcul à revoir !!)

Bien sur, ma réponse est peut etre un peu éronée vu l'heure !!!

Voilà !

J'espère oui que Victor viendra faire un petit tour ici pour répondre à mes
dernières questions citées ci-dessus.
Bonne nuit à tous

A+
Nathalie
    

Dans l'espérance mathématiques, il y a un terme que tu as écrit:
(-2)*2/5

Les 2/5 sont censés représenter la proba de perdre 2 francs, cette proba
a été calculée X(-2) = 1/5 (et pas 2/5) -> erreur.

Si on tient compte de cette erreur, ton calcul donnerait:

E(X) = 2*1/15+4*1/15+6*2/15+(-2)*1/5+(-3)*8/15= -12/15 = -4/5.
-----
Toujours sauf distraction.  

Bonjour Jp !

Oui tu as raison, après revérification de mes calculs, je trouve comme
toi. C'est la fatigue qui m'a fait déraper

Merci pour ton aide.
A+ (avec Victor)
Bye bye
Nathalie

Re bonjour Jp

J'ai refais tout comme il faut les calculs mais pour la question à laquelle
tu m'as répondue ce matin, je coince toujours sinon j'ai
compris le reste.

Pourquoi quand tu calcule X(-2) = 2*(3/10)*(3/9), tu trouves 1/5 ?
Si on fait le calcul ça fait bien 18/90 mais quand on réduis à une fraction
irréductible, moi je trouve 2/5 et donc ça revient au pb de ce matin
et cela change le résultat de E(X) ? car en plus si on prend ton
résultat 1/5 comment se fait t il qu'apres on trouve 6/15 ?
en faisant 1/5*(-2) , je trouve -2/5 ? ! toujours ce pb de ce matin
GRrrrrr !

Merci de ton aide et excuse moi de t'embêter ...
A+
Nathalie

Bonsoir Nath63,

Attention à la réduction de la fraction :
18/90=(18*1)/(18*5)=1/5.

Pour le calcul :
E(X) = 2*1/15+4*1/15+6*2/15+(-2)*1/5+(-3)*8/15
=2/15+4/15+12/15-2/5-24/15
(or 2/5 = 6/15)
=(2+4+12-2-24)/15=(18-26)/15=-8/15.

A vérifier.

@+

@+

On a du mal à y arriver.

Victor, tu écris
...
(or 2/5 = 6/15)
mais dans la ligne suivante, tu laisses le 2 au lieu de mettre 6.

Ta dernière ligne aurait dû être:
=(2+4+12-6-24)/15=(18-30)/15=-12/15 = -4/5

Enfin, il me semble.     

Tu as tout à fait raison J-P, et ce n'était pas du tout pour
te contredire (bien au contraire). Une simple erreur de calcul.

Bon d'accord, c'est pour moi la guillotine ce soir.

Bonne nuit...

@+

Bonsoir !


Je pensais bien que mon erreur était dûe à un pb de réduction de fraction
!
Donc si j'ai bien compris et on est d'accord maintenant que:
E(X)=-4/5 ? !

Merci
Bonne et nuit
A+ pour la fin des deux derniers exos
PS : pardon d'avoir remuer ciel et terre pour une brindille de
fraction
Nathalie

Salut,
Je viens apporte une modeste contribution.
J'ai vu que Nath63 avait du mal à comprendre, dans l'exercice 1,
la probabilité :

P = (3/10)*(2/9) + (3/10)*(2/9) + (4/10)*(3/9) = 24/90 = 4/15  

Il existe une autre manière, que tu comprendras peut-être mieux, de
retomber sur cette probabilité :


AUTRE MÉTHODE

On considère les tirages équiprobables.
On va donc pouvoir utiiser la formule :

p(A)= (nb cas favorables à A) / (nb de cas total)

Calculons tout d'abord le nombres de cas total. On tire au hasard "2
jetons parmi 10" ce qui se traduit (en ancienne notation) C(2;10),
et ce qui nous donne un total de :

C(2;10)= 10! / [(10-2)!*2!]
C(2;10)= 10! / (8!*2)
C(2;10)= (10*9) /2
C(2;10)= 5*9
C(2;10)= 45

CONCLUSION : On a un total de 45 tirages possibles.

Maintenant, calculons le nombres de tirages favorables à la réalisation de notre
évènement A:"les 2 jetons portent le même nombre ".

*On a 3 jetons portant le numéros 1, DONC on peut tirer "2 de ces jetons
parmis les 3"
**Mais on a également 3 jetons portant le numéro 2, DONC on peut aussi tirer
"2 de ces jetons parmis les 3"
***On a enfin 4 jetons portant le numéro 3, DONC on peut également tirer
"2 de ces jetons parmis les 4"

Ceci nous donne finalement :

   C(2;3)+C(2;3)+C(2;4)
= 2*C(2;3)+C(2;4)
=2* [3!/((3-2)!*2!)] + [4!/((4-2)!*2!)]
=2*3 + (4*3)/2
=6 + 6
=12

CONCLUSION : On a donc 12 tirages favorables à l'évènement A

On obtient donc finalement :

p(A)=12/45
p(A)= 4/15           (on simplifie par 3)


Voilà, cette méthode est plus fastidieuse, mais je pense que c'est
elle qui est enseignée en terminale S, bien que la méthode de J-P
soit bien plus simple et plus rapide.   

J'espère avoir pu aider

À +


Belge*FDLE

La question de Nath 63:

Exercice 2)

Pour la question 2), quand je calcule les valeurs que doit prendre X;
dois-je trouver 1/4 partout  ? où il est possible que je trouve des
valeurs comme 1/12 ou 1/36 etc ???

Je trouve:

X(2) = 1/4
X(4) = 1/4
X(6) = 11/48
X(8) = 1/12
X(10) = 1/36
X(11) = 1/12
X(13) = 1/24
X(15) = 1/36
X(20) = 1/144

Remarque, on peut vérifier que la somme de tous les Xi ci dessus est bien égale
à 1. Si ce n'était pas le cas, cela impliquerait une erreur
ou un oubli.

On calcule ensuite E(x)

E(x) = 2*(1/4) + 4*(1/4) + 6*(11/48) + 8 * (1/12) + 10 * (1/36) + 11 *
(1/12) + 13 * (1/24) + 15 * (1/36) + 20 * (1/144) = 210/36 = 35/6


qui est ce que tu as trouvé sauf que tu as oublié de simplifier ta réponse
(70/12).

Ta question :

Exercice 3)

Pour la question 2) comment il se fait que X peut prendre comme valeur
"7" ?

Toujours pour cette même question, je comprends pas comme on fait pour trouver
les couples (A,B) ?
-----

Chaque dé peut avoir 6 positions (1 à 6), pour les 2 dés, il y a donc 36
possibilités.

Je note les couples (A,B) possibles ci dessous:
(A , B) :
(1 , 1)   qui entraine x = b+1 -> x = 2
(1 , 2)   qui entraine x = b+1 -> x = 3
(1 , 3)   qui entraine x = b+1 -> x = 4
(1 , 4)   qui entraine x = b+1 -> x = 5
(1 , 5)   qui entraine x = b+1 -> x = 6
(1 , 6)   qui entraine x = b+1 -> x = 7

(2 , 1)   qui entraine x = b -> x = 1
(2 , 2)   qui entraine x = b -> x = 2
(2 , 3)   qui entraine x = b -> x = 3
(2 , 4)   qui entraine x = b -> x = 4
(2 , 5)   qui entraine x = b -> x = 5
(2 , 6)   qui entraine x = b -> x = 6

(3 , 1)   qui entraine x = b+1 -> x = 2
(3 , 2)   qui entraine x = b+1 -> x = 3
(3 , 3)   qui entraine x = b+1 -> x = 4
(3 , 4)   qui entraine x = b+1 -> x = 5
(3 , 5)   qui entraine x = b+1 -> x = 6
(3 , 6)   qui entraine x = b+1 -> x = 7

(4 , 1)   qui entraine x = b -> x = 1
(4 , 2)   qui entraine x = b -> x = 2
(4 , 3)   qui entraine x = b -> x = 3
(4 , 4)   qui entraine x = b -> x = 4
(4 , 5)   qui entraine x = b -> x = 5
(4 , 6)   qui entraine x = b -> x = 6

(5 , 1)   qui entraine x = b -> x = 1
(5 , 2)   qui entraine x = b -> x = 2
(5 , 3)   qui entraine x = b -> x = 3
(5 , 4)   qui entraine x = b -> x = 4
(5 , 5)   qui entraine x = b -> x = 5
(5 , 6)   qui entraine x = b -> x = 6

(6 , 1)   qui entraine x = b -> x = 1
(6 , 2)   qui entraine x = b -> x = 2
(6 , 3)   qui entraine x = b -> x = 3
(6 , 4)   qui entraine x = b -> x = 4
(6 , 5)   qui entraine x = b -> x = 5
(6 , 6)   qui entraine x = b -> x = 6
-------------

x = 1 pour 4 des 36 cas ci dessus -> x(1) = 4/36 = 1/9
x = 2 pour 6 des 36 cas ci dessus -> x(2) = 6/36 = 1/6
x = 3 pour 6 des 36 cas ci dessus -> x(3) = 6/36 = 1/6
x = 4 pour 6 des 36 cas ci dessus -> x(4) = 6/36 = 1/6
x = 5 pour 6 des 36 cas ci dessus -> x(5) = 6/36 = 1/6
x = 6 pour 6 des 36 cas ci dessus -> x(6) = 6/36 = 1/6
x = 7 pour 2 des 36 cas ci dessus -> x(7) = 2/36 = 1/18

A toi pour continuer...    

Bonjour !

Merci bcp Jp pour tes réponses, j'ai enfin tout compris je crois...
Je suis contente que pour l'exercice 2) on trouve pareil pour E(X).
Je suis pas si nulle que ça alors

Merci aussi à toi Victoir et à toi le Belge*FDLE !

Je sens que je vais avoir une bonne note car je suis en train de tout
expliqué sur ma copie.

Je m'excuse d'être un peu "chieuse" pour les probabilités
mais étant donné que je n'ai jamais étudié le programme de maths
de Terminale S, bah certains points me font fautes comme je suis
issue d'un bac pro compta mais no soucy je commence à comprendre


Allez Grand merci à tous et j'espère vous donner le résultat de mon
devoir avant que le forum ne ferme pour congés estivals.
Bises à tout le monde
A+
Nathalie