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Niveau maths spé
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Variables aléatoire

Posté par
processus
20-03-19 à 20:17

Bonjour

Soit X une variable aléatoire à valeur dans on donne \sum{t^nP(X=n)} de variable t
On note R_X
Le rayon de convergence de cette série .
1(a) montrer que R_X\geq 1

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 21:24

Bonsoir processus.
il me semble assez clair que le terme général vérifie t^n \leq t^nP(X=n)

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 21:32

Oui oui exactement

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 21:37

C'est plutôt  \blue t^n P(X=n)\leq t^n.

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 21:51

Oui mais où voulez vous en venir ?

Posté par
verdurin
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 21:53

Bonsoir.
J'ai mis au moins trois minutes à deviner l'énoncé.

Citation :
Soit X une variable aléatoire à valeur dans on donne \sum{t^nP(X=n)} de variable t
On note R_X
Le rayon de convergence de cette série .
1(a) montrer que R_X\geq 1

se traduit par
Citation :
Soit X une variable aléatoire à valeur dans .
On étudie la série de terme général {t^nP(X=n)} de variable t
On note R_X le rayon de convergence de cette série .
1(a) montrer que R_X\geq 1

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 22:10

processus @ 20-03-2019 à 21:51

Oui mais où voulez vous en venir ?

Tu sais que tu peux obtenir des estimations sur les rayons de convergence de série en comparant les termes généraux.

Si 0\leq a_n \leq b_n alors la série de terme a_nz^n a un rayon plus grand que celle de terme b_nz^n.

Ici a_n = P(X=n) et b_n = 1

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 20-03-19 à 22:15

Ah oui ! Merci jsvdb

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 03:59

1(b) . on pose
G_X(t)=\sum_{n=0}^{+oo}{t^nP(X=n)}}

Et DG_X , l'ensemble de définition de Gx , montrer que [-1,1]CDG_X

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 04:14

Proposition de réponse .

Puisque d'après 1(a) R_X\geq 1
Et Rx étant le rayon de convergence de la série GX(t)  , si |t|1 la série converge <=> t[-1,1]

Donc [-1,1] DGx

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 11:48

Cette réponse est inexacte.
Du fait que le rayon de la série vaille 1, alors oui ]-1;1[ \subset DG_X.
Mais on sait que ce qui se passe sur le bord d'un disque de convergence doit être minutieusement étudié.
Alors pour aurait-on 1 \in DG_X ? Pareil pour -1 ?

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 11:48

* Alors pourquoi aurait-on ...

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 12:27

Pour t=1 voici ce que j'obtiens

G_X(1)=\sum_{n=0}^{+oo}{P(X=n)}}

Et pour t=-1

G_X(-1)=\sum_{n=0}^{+oo}{(-1)^nP(X=n)}}

1 et -1 appartiennent bien à DGx ...

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 13:06

Certes, mais pourquoi ???

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 13:13

Je bloque à ce niveau

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 13:36

bah enfin ! si X est une VA discrète que vaut  \sum_{p=0}^\infty P(X=p) ??

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 13:42

Ça vaut 1

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 14:04

Bah oui ! Donc 1 \in DG_X
Et du coup pourquoi -1 \in DG_X ?

Posté par
nakhal69
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 14:16

Si une série converge donc donc son terme u_n converge vers 0.
Donc p(X=n) tend vers 0.

Pour t =-1 ns avons une série alternée de terme tendant vers 0. Conclure

Posté par
jsvdb
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 15:53

La suite positive de terme (P(X=n))_n tend vers 0, mais pas nécessairement en décroissant. Donc on ne pas conclure par ce biais pour la série correspondante.

Simplement, la série de terme (-1)^nP(X=n) est absolument convergente, donc convergente.

Posté par
processus
re : Variables aléatoire 21-03-19 à 21:36

Merci infinimentjsvdb



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