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Variables aléatoires

Posté par
RiemanB 13-04-21 à 11:25

Bonjour,

Avant de vous exposer ce que j'ai écrit pour faire  l'exercice, j'aimerais d'abord m'assurer que mes idées sont justes.
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à support dans N2 de loi donnée par
Pour tout (i,j)i+j/2 i+j[/sup

1.  Établir à quelle condition la suite ((i+j)/2[sup] i+j). i,j2 est bien une fonction de masse sur N2.

Dans le cas de v.a discrètes je dois m'assurer que somme de (i+j/2 i+j)=1 et (i+j/2^i+j) compris entre 0 et 1. Pour cela en écrivant l'égalité de la somme je peux dire que =1/( i+j/2 i+j.

2. Déterminer le support et la loi de X, puis de Y .

X()= et Y()=.
P(X=i)=jP(X=i,Y=j)
P(Y=j)iP(X=i,Y=j)


3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

Montrons que
P(X=i)*P(Y=j)= (i+j/2 i+j). Puis-je raisonner avec la récurrence?

Merci par avance

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 11:27

*pour tout (i,j) appartenant à N2 P((X,Y)=(i,j))= i+j/2i+j

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 11:28

Désolé pour les erreurs de frappes.

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 11:29

RiemanB @ 13-04-2021 à 11:28

Désolé pour les erreurs de frappe.

Posté par
carpediemre : Variables aléatoires 13-04-21 à 12:15

salut

peu compréhensible sans une écriture correcte des indices ...

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 12:40

1-Etablir à quel condition la suite ((i+j))/2i+j est une fonction de masse sur N2.(pour le numérateur i et j ne sont pas en indices ou en exposant )

Posté par
carpediemre : Variables aléatoires 13-04-21 à 13:10

ha ok !!!

pour ne pas utiliser une lettre grecque pénible à chercher je prends p

1/ ok : p \sum_{(i, j) \in \N^2} \dfrac {i + j} {2^{i + j}} = 1

2/ il faut donc calculer P(X = i) et P(Y = j)

P(X = i) = p \sum_{j \in \N} \dfrac {i + j} {2^{i + j}}

or pour tout x de [0, 1]  :  \sum_j (i + j)x^{i + j} = \sum_j (i + j + 1) x^{i + j} - \sum_j x^{i + j}

la deuxième somme est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme ....

pour la première considère la fonction f(x) = \sum_{k = i}^{+\infty} x^k

et dérive la ...

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 14:19

D'accord avec votre notation, je trouverais kxk-1-xi+j. Soit 1/1-kx - xi/1-x?

Posté par
carpediemre : Variables aléatoires 13-04-21 à 14:28

je ne sais pas si c'est exact mais à tout le moins il serait bien de montrer ce qui se passe pour la première somme ...

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 14:37

Je réécris xk avec k=i+j+1 je dérive on obtient (i+j+1)xi+j  soit (somme des termes suite géo) (j+1)xj/1-kx

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 14:38

Pour f(x) je ne comprends pas pourquoi dans la somme on met k=i et non k=j

Posté par
carpediemre : Variables aléatoires 13-04-21 à 15:03

\sum_j (i + j + 1) x^{i + j} = \sum_{k = i} (k + 1)x^k en posant k = i + j ...

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 15:10

Ah oui c'est vrai

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 17:52

Concernant le x c'est bien 1/2?

Posté par
RiemanBre : Variables aléatoires 13-04-21 à 18:21

C'est bon je crois avoir compris il faut que je le mette par écrit


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