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Variables aléatoires Approfondissement
Bonjour à tous,
J'ai un exercice d'approfondissement à faire sur les variables aléatoires, mais je bloque malheureusement sur l'une des questions. Voici l'énoncé :
On considère une expérience aléatoire d'univers fini 
, un modèle de probabilité P associé à cette expérience et X une variable aléatoire définie sur dont la loi de probabilité est la suivante.
| xi | x1 | x2 | ... | xn |
| P(X=xi) | p1 | p2 | ... | pn |
1) a) Rappeler l'expression de l'espérance E(X) de la variable aléatoire X.
b) Soient a et b deux réels.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire aX+b.
En déduire que, pour tous réels a et b, on a :
E(aX+b)=aE(X)+b
2) Soit x un nombre réel.
On considère la variable aléatoire Y=(X-x)2.
a) Donner l'expression développée et réduite de Y.
b) Démontrer que la fonction f:x
E[(X-x)2] admet un minimum sur 
.
Pour quelle valeur de x est-il atteint et que représente alors ce minimum ?
J'ai réussi la question 1), mais je bloque à la 2) b). J'ai trouvé quelque chose mais mon résultat me semble étrange, et je ne vois pas comment trouver pour quelle valeur de x il est atteint, ni ce qu'il représente.
Voici mes résultats :
1) a) E(X)=
pkXk
b)
| xi | x1 | x2 | ... | xn |
| Xi | aX1+b | aX2+b | ... | aXn+b |
| P(X=xi) | p1 | p2 | ... | pn |
E(aX+b) =
pi(aXi+b)
=
(piaXi+pib)
= a
piXi+bpi
= aE(X)+b
2) a) Y = (X-x)2
= X2-2Xx+x2
b) E[(X-x)2] = E(X2-2Xx+x2)
= x2-2E(X)x+E(X)2
Or cette équation est un polynome du second degré.
Donc le minimum correspond à
=-b/2a
D'où
= -(-2E(X)/2)
= E(X)
Donc le minimum de la fonction correspond à l'espérance.
Voilà ce que j'ai réussi à trouver, mais ça me semble étrange. Et je bloque pour la suite.
N'hésitez pas à me dire si j'ai fait une faute, et merci de votre aide !
Bonne fin de journée
Salut !
Merci pour votre réponse ! (X-x)2 est effectivement positif, mais je ne vois pas comment exploiter cette information...
De plus, pourquoi parler de E[(X-E(X))2] alors que l'énoncé mentionne E[(X-x)2], et comment savoir qu'il est positif ?
Merci beaucoup pour votre aide !
le plus petit nombre positif est 0 !!
et tu vois que quand x = E(X) ben tu obtiens 0 !!!
c'est juste pour mentionner que l'ensemble des résultats est cohérent ...
ha mais je me rends compte que tu as fais une erreur !!
mais
mais ça ne change pas le résultat ...
ensuite tu as un trinôme du second degré en x effectivement mais tu n'as pas justifié que c'est un minimum ...
D'accord, merci !
Mais comment trouver pour quel x ce minimum est atteint ? Je ne sais pas si je n'ai pas compris ou si vous ne l'avez simplement pas dit... Et donc, pour la question "que représente ce minimum ?", j'ai juste à dire qu'il représente l'espérance ou il y a autre chose ?
Merci de m'accorder de votre temps pour m'aider !
Je viens juste de voir votre nouvelle réponse après que j'ai envoyé la mienne...
Merci pour la correction de l'erreur, je n'ai en effet pas bien réfléchi. Après, comme vous l'avez dit, ça ne change rien au minimum. Par contre, comment justifier que c'est un minimum ? J'ai juste utilisé la formule donc je ne vois pas comment plus justifier...
Merci encore !
comment sait-on si un trinome admet un maximum ou un minimum ? (voir cours trinome)
ensuite donc on a trouvé le lieu du minimum : x = E(X) (valeur de x où il est atteint) mais ce minimum vaut ... ?
Je ne me souvenais plus pour justifier le minimum, mais puisque c'est un polynôme il suffit juste de dire que a>0.
Ensuite, pour le minimum, je ne comprenais pas pourquoi x=E(X). En fait il faut faire :
E[(X-x)2]=0
E(X-x)=0
E(X)-x=0
E(X)=x
C'est bien ça ?
Par contre, je ne comprends pas vraiment pourquoi on fait E[(X-x)2]=0. Est-ce que c'est parce que le plus petit nombre positif est 0 ? Mais si c'est ça, comment le justifier à l'oral ?
D'après le raisonnement, le minimum est donc E(X) atteint en x=E(X). Je me trompe ?
Merci encore du temps accordé !
Ah non en fait je me suis embrouillée (et du coup ce que j'ai expliqué dans mon message d'avant est complètement idiot) ! Je n'ai pas calculé avec la formule -b/2a, j'ai calculé 
. Donc ce que j'ai trouvé ne correspond pas au minimum mais à la valeur de x pour lequel il est atteint. C'est ça ?
Donc pour trouver le minimum, soit j'utilise =-b2/4ac, soit je calcule E[(X-E(X))2].
Avec =-b2/4ac
=-(-2E(X))2/4E(X2)
=-4E(X2)/4E(X2)
=-1
Donc si mes calculs sont bon, le minimum est -1 atteint en x=E(X). Par contre j'hésite sur ce que j'ai mis en rouge : c'est 4E(X2) ou 4E(X)2 ? Si c'est le deuxième cas, mon résultat n'est donc pas bon et je ne sais pas quoi faire après...
Si mon résultat est bon, pour l'interprétation, ça voudrait dire que l'espérance de cette fonction est égale à -1 ? Donc que la valeur moyenne pour un grand nombre de tirage de cette fonction est égale à -1 ?
ok pour la justification du minimum : le coefficient de x^2 est positif donc la parabole est "tournée vers le haut" ...
mais ensuite tu mélanges tout dans les formules !!!
si alors le minimum a lieu en x = -b/2a = E(X) (ce que tu as trouvé)
et ce minimum est f(E(X)) = ...
Pour la justification c'est bien ce que je pensais. Et pour la valeur x pour laquelle le minimum est atteint, c'est bien ce que j'ai expliqué dans mon deuxième message, après avoir tout relu (je m'étais mélangée et maintenant j'ai compris).
Donc le seul problème qu'il me reste c'est le calcul du minimum. Si je calcule bien f(E(X)), il faut que je calcule E[(X-E(X))2] puisque c'est la fonction et puisque je remplace x par E(X). C'est bien ça ?
Dans ce cas, ça me donne f(E(X))=E(X2)-E(X)2
Mais mon résultat me semble bizarre ? Le minimum serait E(X2)-E(X)2 atteint en x=E(X). Dans ce cas, je ne vois pas du tout comment interpréter... (Question 2) b) Pour quelle valeur de x est-il atteint et que représente alors ce minimum ?)
Merci de votre patience, ça m'aide beaucoup !
Dans ce cas, ça me donne f(E(X))=E(X2)-E(X)2
Mais mon résultat me semble bizarre ? Le minimum serait E(X2)-E(X)2 atteint en x=E(X)
rien de bizarre dans cela ...
je n'en dirai pas plus et tu verras ensuite avec le corrigé de ton prof mais je te dis simplement le mot magique tout de même : variance
...
Pour la variance, nous n'avons pas vu cette formule en cours mais une autre, mais je vais quand même l'utiliser...
En tout cas merci beaucoup pour votre aide, ça m'a permis de ne pas bloquer (surtout que c'est un dm oral...) ! Bonne journée !
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