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Variables Complexes

Posté par
audinaudin 21-05-21 à 15:31

Bonjour à tous
Quelle est l'image par la détermination principale du logarithme complexe de l'anneau défini par { z€C / e≤|z|≤e², Imz≤0}

Et que donne maintenant l'image de cet anneau par Log5π/2 où 5π/2 est la détermination
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
breuilre : Variables Complexes 21-05-21 à 16:43

Bonjour
je ne suis pas un expert en la matière, mais s'agit-il  du logarithme principal?

Si oui on peut appliquer ln(z) = ln(\left|z \right|)+i arg(z) .

D'autre part il ya un bug dans la deuxième question.
Merci à quiconque de me rectifier s'il y a erreur.

Posté par
Aalex00re : Variables Complexes 21-05-21 à 16:58

Bonjour,

Simple précision pour clarifier, si c'était nécessaire, la situation. Une détermination du logarithmique complexe est caractérisée par une détermination de z\mapsto Arg(z).

Par exemple, si on défini Arg à valeurs dans [\theta, \theta +2\pi[, alors notre logarithmique sera défini et holomorphe sur C privé de la demi droite issue de 0 (inclut) et passant par e^{i\theta}.

Selon moi la détermination principale c'est pour \theta =-\pi, mais aucune certitude.

Posté par
breuilre : Variables Complexes 21-05-21 à 17:05

Bonjour, oui c'est ça donc la partie réelle appartient  à [1,2] et la partie imaginaire à
[-pi,0]??

Posté par
Aalex00re : Variables Complexes 21-05-21 à 18:34

Je suis d'accord, en notations abusives on retrouve :

exp\left([1,2]+i[-\pi,0]\right)=exp\left([1,2]\right)exp\left(i[-\pi,0]\right)=A

Où je note A=\{z\in\mathbb{C}|e\leq |z|\leq e^2,Im(z)\leq 0\} son ensemble.

Posté par
Aalex00re : Variables Complexes 21-05-21 à 18:44

Quoique pour la détermination principale, le log n'est pas défini sur A\cap \mathbb{R}_- ? J'ai peut-être loupé un détail.

Posté par
breuilre : Variables Complexes 21-05-21 à 19:20

On n'a pas ln(-e) = 1 -i?

Posté par
Aalex00re : Variables Complexes 21-05-21 à 19:59

Mais dans ce cas, prenant la suite

z_n = e \cdot e^{i(1-\frac{1}{n})\pi}\quad , \quad n\geq 1

on aurait, par continuité du log,

1+i\pi \leftarrow 1 + i(1-\frac{1}{n})\pi = log(z_n)\rightarrow log(e\cdot e^{i\pi})

Et donc une mauvaise définition en ce point. Par définition on construit les déterminations de sorte qu'elles soient holomorphes, c'est pour cela qu'on prive le domaine de définition d'une demi-droite. Mais si ce qu'on veut c'est une application, pas forcément continue, alors on peut prendre la valeur que tu donnes.

Posté par
breuilre : Variables Complexes 21-05-21 à 20:03

Ah oui merci.
Du coup la partie imaginaire appartiendrait à ]-;0]?

Posté par
Aalex00re : Variables Complexes 21-05-21 à 20:24

C'est ce que je dirais oui, mais il faudrait aussi modifier l'ensemble A en A privé de A\cap \mathbb{R}_-... Peut-être que audinaudin nous en dira plus.

Posté par
audinaudinre : Variables Complexes 21-05-21 à 22:16

Merci pour les précisions apportées Aalex00
Lorsque que je dis que 5π/2 est la détermination en fait notre application Log5π/2 est définie de C\B  vers S où B={ri, r≥0}  et
S={z€C / 5π/2 ≤ Im(z)< 9π/2}

Posté par
Aalex00re : Variables Complexes 22-05-21 à 15:23

Bonjour audinaudin,

D'après la réponse qu'avait donné breuil pour le logarithme principal, tu peux déjà avoir une idée de la tête de la solution. Sachant que cette fois, l'argument est pris dans [\frac{5\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} + 2\pi [, qu'elle tête aura log_{\frac{5\pi}{2}}(A), où A=\{z\in\mathbb{C}|e\leq |z|\leq e^2,Im(z)\leq 0\} ?

Essaie de faire un dessin et de voir quels sont les arguments des z\in A.


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