Bonjour,

Cette démonstration n'est vraiment pas compliquée.

Variable aléatoire somme : Z = a₁X₁ + a₂X₂ (il est immédiat d'étendre à une combinaison linéaire de n variables aléatoires)

Espérance mathématique de la somme (que les variables aléatoires X₁, X₂ ... soient ou non indépendantes)


Espérance mathématique d'un produit de deux variables aléatoires indépendantes : égale au produit des espérances mathématiques de chacune des variables (conséquence immédiate de la définition de l'indépendance de variables aléaoires). E(X₁.X₂)=E(X₁).E(X₂)

Covariance de variables aléatoires indépendantes : nulle

Variance de la somme :

Le double produit est nul si les variables aléatoires X₁ et X₂ sont indépendantes et donc :



Quant à savoir si cette question peut être posée à l'oral du Capes, je n'en ai pas la moindre idée.

Bonjour,

Soient X et Y deux variables indépendantes, on s'intéresse à U=X-E(X) et V=Y-E(Y) qui sont toujours indépendantes, mais aussi centrées (ie d'espérance nulle). On a :

var(X+Y)
= E[(U+V)²]
= E(U²+2UV+V²)
= E(U²)+2E(UV)+E(V²)
= var(X)+2E(UV)+var(Y)
= var(X)+var(Y)   car E(UV)=E(U)E(V)=0 (par indépendance de U et V)

Sauf erreur
Critou