qu'obtiens-tu en derivant ?

La dérivée de la fonction est -exp(-t) + (1-t/n)^(n-1).
Sur [0,n], exp(-t) appartient à [0,1] et l'autre terme aussi. Donc je n'arrive pas à savoir lequel est supérieur à l'autre. Si tu as une idée, elle sera la bienvenue

Nicolas

Bonjour
Par graphique on peut voir que pour  0 x n
le graphe de  (1-x/n)^(n-1)  (ex; n=3) est en dessous de exp(-x)
et que donc le dérivée est positive et la fonction croissante .
A plus.

Merci pour ton aide !!
Par hasard, tu n'aurais pas une idée de vraie démonstration ? J'ai beau chercher, je ne vois absolument pas comment faire.

Merci pour le graphique.

Nicolas

rassure toi nico86, dériver ça marche :
tu dérives et après tu factorise exp(-t) t'obtiens :
exp(-t) (exp( (n-1)ln(1-t/n)+t )-1) (valable sur [0,n[)
alors le signe de la dérivée est celui de (n-1)ln(1-t/n)+t, (l'exposant de l'exponentielle de la parenthèse), factorise ça par n-1 (toujours positif), t'obtiens :
   g(t) = ln(1-t/n) + t/(n-1)
et il te reste plus qu'à redériver ça pour faire une étude de fonction simple de g, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur g pour constater qu'elle s'annule en un point a de [0,n] indéterminable et est positive avant, négative après, ce qui te permet de conclure sur les variations de la fonction globale.

Rebonjour
Si j'ai bien vu le passage à l'exponentielle que dementor a effectué je dirais
(il doit manquer 1 )  ) que le signe de la dérivée est celui de
exp{(n-1).ln(1-t/n) + t } - 1  ce qui n'arrange rien.
J'y travaille pour  trouver 1 "vraie démonstration".
A plus.

le moins est effectivement en dehors de l'exp mais comparer une exp avec 1 revient à étudier le signe de l'exposant de l'exp, relis bien mon post (les parenthèses sont bien mises et le -1 est là)

géo tu devrais prolonger ton dessin jusqu'à n=3 pour bien voir toutes variations de la fonction

Merci pour vos conseils et le temps que avez passé à m'aider.
La solution de Dementor me semble être la "vraie démonstration". Il fallait y penser !!! Merci beaucoup.

Nicolas

ReRebonjour
En  fait il ne manquait pas de parenthèse mais c'est quand même du signe de
exp{(n-1).ln(1-t/n) + t} - 1  et si on nomme a= (n-1).ln(1-t/n) + t  pour
étudier le signe de la dérivée il suffit de savoir si a est > 0 ou < 0
car exp(a) est > 1 pour a > 0 et < 1 pour a < 0 ; donc le g(t) de  dementor
était bon et comme il le dit il suffit d'étudier son signe.
Comme g'(t) = (1-t)/{(n-t).(n-1)}  qui est toujours positive pour t > 1 et
négative pour  t < 1  g(t) a 1 Max  positif pour t=1 et coupe ox en  1 point a
de [0,n[ comme le dit dementor et la courbe a donc un Max en a. Pour n =3
l'abcisse est environ 1,75.
A plus.

Oui c'est aussi ce que je viens de trouver. On peut même être un peu plus précis en disant que a appartient à [1,n[.

En tous cas, merci à tous les deux pour votre aide.

Nicolas