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variation d'une fonction polynôme du second degré

Posté par
MD1860
02-11-21 à 14:42

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un exercice en math, pourriez vous m'aider svp ? Je suis bloqué a la question 3.

Voici l'énoncé et les questions:

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = -x² + 5x -4. On note C la représentation graphique de la fonction f dans le plan.

1. étudier les variation de la fonction f.
J'ai trouvé delta = 9 et a<0 donc la  courbe est croissant puis décroissant - | + |- .  Je sais pas comment mieux expliquer

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
x1 = -b - √Δ / 2a = -5-√9 / 2*(-1)= -8/-2= -4
x2 = -5+3 / -2 = 1
Les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont -4 et 1.

3. soit p un nombre réel.
Déterminer les valeurs de p pour lesquelles la courbe C et la droite d d'éaqution y=x+p ont deux points d'intersection.

4. Déterminer les coordonnées exactes des points d'ordonnée 1 de la courbe C.

Merci d'avance pour vos aides.

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:07

Bonjour

Vous confondez tableau de variations et tableau de signes

Question 1 on veut savoir quand la fonction est croissante ou décroissante \Delta ne sert à rien puisque vous n'avez pas d'équation

Question 2 \dfrac{-8}{-2}=4  

Question 3  Formez l'équation aux abscisses des points d'intersection

Vous obtenez une équation du second degré Quand a-t-elle 2 solutions ?

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:15

Pour la question 1 est-ce qu'il faut faire 5/2   parce-que la courbe est symétrique ?

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:21

x=5/2 est bien l'axe de symétrie de la parabole

a<0 la fonction x\mapsto ax^2+bx+c  est croissante sur \left]-\infty~;~-\dfrac{b}{2a}\right] et décroissante sur \left[-\dfrac{b}{2a}~;~+\infty\right[

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:27

pour la question 1, je viens de comprendre qu'il faut mettre la fonction  en forme canonique donc
f(x)= -x² + 5x - 4
f(x) = ( -x- 2,5)² - 2,5² - 4 = ( -x- 2,5)² + 2,25
donc le coordonnée du sommet est (2.5; 2,25)
la courbe est croissante jusqu'à (2.5; 2,25) (l'extremum) puis décroissante

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:36

On parle de croissance pour une fonction , on peut dresser un tableau de variations  

croissante sur ]-\infty~;~5/2] décroissante sur [5/2~;~+\infty[

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:44

D'accord merci,
pourriez vous m'expliquer la question 3 svp ?

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:46

15 : 07

Comment calculez-vous les coordonnées des points d'intersection ?

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 15:49

avec x1 et x2
x1 = -b - √Δ / 2a
x2 = -b + √Δ / 2a

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:00

les coordonnées des points d'intersection vérifient

\begin{cases} y=-x^2+5x-4 &\text{le point appartient à la parabole}\\y=x+p&\text{le point appartient à la droite}\end{cases}

Résolvez le système

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:07

yA = mxA + p
1= 0*1+p
p = 1
et yB = mxB +p
4= 0 +p
p= 4

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:15

????????

-x^2+5x-4=x+p

Regroupez  dans le second membre
ensuite résolvez  cette équation comme n'importe quelle équation du second degré

Il faudra discuter le signe de \Delta selon les valeurs de p

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:26

-x2 + 5x-4=x+p
-x2 + 4x -4 = p

a=-1     b=-4    c=-4

Δ= b2-4ac
Δ= -42-4*(-1)*(-4)
Δ= 16-16
Δ=0
x1= -b/2a = 4/2*(-1)= -2

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:31

Non

-x^2+5x-4=x+p \iff  x^2-4x+p+4=0

\begin{cases} a=1\\b=-4\\ c=p+4\end{cases}

 \Delta =

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:39

Δ= b2-4ac
Δ= -42-4*(-1)*(4+p)
Δ= 16+16p
16p = 16

p=1

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 16:47

il y a une erreur je pense c = -4-p
qui donne
Δ= b^2-4ac
Δ= -4^2-4*(-1)*(-4-p)
Δ= 16-16p
-16p = 16

p=-1

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:03

est-ce qu'on peut faire avec la forme canonique

−x^2+5x−4−x−p=0
−x^2+4x−4−p =0
-x^2 + 2x* (-2)-2^2 -p
-(x+2)^2 -4 -p = 0

-(x+2)^2 -4 = p

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:04

Non j'avais dit de regrouper  dans le second membre

Si pour c vous avez -p-4 alors pour a vous avez -1

\Delta= (-4)^2-4\times (p+4)=16-4p-16 =-4p

maintenant on discute  

 \Delta <0  si p  par conséquent aucun point d'intersection  

\Delta =0 si p

 \Delta >0 si

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:13

l'equation admet 2 solutions distincte ssi Δ> 0
-4p>0
p< 0

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:20

Deux points d'intersection si p est strictement négatif

variation d\'une fonction polynôme du second degré

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:24

J'ai pas compris comment on trouve les valeurs de P

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:29

P ??

Les valeurs de p sont obtenues en résolvant \Delta  >0

variation d\'une fonction polynôme du second degré

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:34

Oui mais on a ∆ =-4p
Je sais pas comment on peut résoudre

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:34

erreur d'image

variation d\'une fonction polynôme du second degré

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:36

-4p>0\iff  p<0

N'est-ce pas ce que vous avez effectué à 17 :13

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:41

Oui donc on a S = ]-inifini ; 0[  ?

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:50

On a bien   si p est strictement négatif la droite d et la parabole ont  deux points en commum

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:54

D'accord donc si j'ai bien compris il faut dire la courbe C et la droite D ont deux points d'intersection si p< 0

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:56

N'est-ce pas ce que l'on vous demande ?

Citation :
Déterminer les valeurs de p pour lesquelles la courbe C et la droite  d'équation y=x+p ont deux points d'intersection.

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:59

Oui merci

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 17:59

Il reste encore une question

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:05

Oui je l'ai pas compris aussi

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:18

On veut savoir pour quelles valeurs de x on a comme ordonnée 1

Ou : quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la courbe C et de la droite y=1

Ou quels sont les antécédents de 1 par f

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:21

On doit faire
f (x)-1=0
-x²+5x-4-1=0
-x²+5x-5=0

a=-1 b=5 c= -5

∆= b² -4ac
∆= 5²-4*(-1)*(-5)
∆= 25-20
∆=5

x1 = -b-√∆ /2a = -5-√5 /2*(-1) ≈-7,24/-2= 3.62
x2 = -5+√5 /-2 = -2,76/-2= 1,38
Les coordonnées sont (1.38 ;1) et (3.62;1)

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:29

Comme il nous demande les coordonnées précises ça doit être ( 5-√5 /2 ; 1) et (5+√5/2;1)

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:40

Presque, il manque les parenthèses

x_1=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\quad x_2=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}

Vous aviez -x^2+5x-5=0 à résoudre, il revient au même de résoudre x^2-5x+5=0

pour éviter des signes - un peu partout

Posté par
MD1860
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:43

D'accord merci beaucoup pour vos aides

Posté par
hekla
re : variation d'une fonction polynôme du second degré 02-11-21 à 18:48

De rien
Bon courage pour la rédaction



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