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Niveau terminale
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Variation d'une suite à partir d'un certain rang

Posté par
m3lissa
21-10-20 à 17:37

Bonjour, en classe de terminale, j'ai un dm sur les suites dans lequel je bute dès le premier exercice, pouvez-vous s'il vous plait m'éclairer un peu.

Sujet: On considère deux suite:
- La suite (Un) définie par u0=1 et, pour tout n ∈ N, par Un+1= 2Un-n+3 et par Un= 3×2n+n-2
- La suite (Vn) définie pour tout n ∈ N, par vn=2n.

1) Montrer que la suite (Un/Vn) est décroissante à partir du rang 3.
2) On admet que pour tout entier n ≥ 4, on a 0 < n/2n ≤ 1/n.     Déterminer la limite de la suite (Un/Vn).

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 17:57

salut
appelons Wn=Un/Vn  pour n>2
que vaut Wn ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 18:00

Wn= 3×2n+n-2 / 2n

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 18:01

ce qui donne en simplifiant et en mettant des ()  ?

du coup que vaut Wn+1  ?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 18:02

tu veux savoir si Wn est decroissante , comment on fait ça ? comment on montre qu'une suite est croissante ou décroissante ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 18:43

Alors en simplifiant peut-on dire que Wn= 3+n-2= n+1 ?        (j'ai  retiré les " 2n " comme ils étaient au numérateur et au dénominateur)

A ce moment là est ce que Wn+1= (n+1)+1 ou est ce que l'on remplace (Un/Vn) par leur formule par récurrence de base, soit Wn+1= Un+1/Vn+1= 2Un-n+3/ 2n+1 ?

Et du coup pour connaitre le sens de variation d'une suite, on fait sa différence avec sa formule de récurrence donc ça donnerait : Wn+1-Wn

le problème étant de trouver que vaut Wn+1

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 18:51

m3lissa @ 21-10-2020 à 18:43

Alors en simplifiant peut-on dire que Wn= 3+n-2= n+1 ?        (j'ai  retiré les " 2n " comme ils étaient au numérateur et au dénominateur)

:?
Wn=\frac{3*2^{n}+(n-2)}{2^{n}}

je veux bien que tu simplifies avec le 3*2n   mais pas avec le reste hein ? on est d'accord

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 18:52

donc calcules proprement Wn
puis tu en déduis Wn+1
et donc tu fais la différence

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 21-10-20 à 21:30

Peut- on dire que Wn= 2(2n+1)  après simplification?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 22-10-20 à 09:14

toujours pas
sépare Wn en 2 fractions   au niveau du +  puis simplifies un peu
ensuite tu déduis Wn+1
puis la différence

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 00:07

C'est tellement la honte, être en Terminale Spé Maths et ne pas savoir simplifier une fraction 😪...
Si j'ai bien compris :
Wn= 3×2n+(n-2)/2n
= 3×(2n/2n) + (n-2)/2n
= 3+ n-2/2n

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 09:48

c'est comme ça qu'on apprend ....
donc Wn=3 +(n-2)/2n    n'oublie pas les ( )

donc Wn+1= ?
donc Wn+1-Wn= ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 15:53

Alors, Wn+1= 3+((n+1)-2)/2n+1 =3+(n-1)/2n+1

Ainsi,
Wn+1-Wn=
3+(n-1)/2n+1 - (3+(n-2)/2n)
=n-1/2n+1× 2n/2n - ( n-2/2n × 2n+1/2n+1)
=[(2n)(n-1) - (2n+1)(n-2)/(2n)(2n+1)]

Les 2 avec leurs exposant s'annulent et il reste (n-1)-(n-2)= 1?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 15:58

non les 2 avec les exposants ne s'annulent pas du tout
jusque là ça semble juste

m3lissa @ 23-10-2020 à 15:53


=[(2n)(n-1) - (2n+1)(n-2)/(2n)(2n+1)]

en haut tu peux ptet factoriser un truc
c quoi 2n+1 en fonction de 2n ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 16:24

2n+1= 2n×2

Du coup, à partir de =[(2n)(n-1) - (2n+1)(n-2)/(2n)(2n+1)] on peut dire que c'est égal à [(2n)(n-1-2-n+2)/(2n+1)(2n)] = -2n/(2n+1)(2n)

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 16:28

oulà oula
tu vas trop vite et c'est plein d'erreurs
effectivement

m3lissa @ 23-10-2020 à 16:24

2n+1= 2n×2


2n(n-1)-2n+1(n-2)  factorise gentiment 2n sans rien simplifier .....avec les ()

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 16:39

😭😭😭

(2n)(n-1)- (2n+1)(n-2) = (2n)(n-1)- 2×2n (n-2) = 2((1n)(n-1)-(2n(n-2))= 2 (1n-2n+1)?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 16:43

non ... 2n c'est pas égale à 2*1n  

m3lissa @ 23-10-2020 à 16:39

😭😭😭

(2n)(n-1)- (2n+1)(n-2) = (2n)(n-1)- 2×2n (n-2)  

ça c'est bon ... factorises 2n

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 16:49

Ahh ouiii en effet
  
Donc (2n)((n-1)-2(n-2))=(2n)(n-1-2n+4)=(2n)(-n+3)

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 16:51


et du coup tu fais quoi avec ça ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:09

On en déduis le signe!
Le dénominateur = (2n+1)(2n) >0
Et le numérateur = (2n)(-n+3)
Or, 2n>0 donc au final on va s'intéresser seulement à (-n+3) .
-n+3 < 0?
-n<3
n>3         au final, on a Wn croissant pour tout n<3?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:14

gné  ?!

m3lissa @ 23-10-2020 à 17:09

On en déduis le signe!
Le dénominateur = (2n+1)(2n) >0
Et le numérateur = (2n)(-n+3)
Or, 2n>0 donc au final on va s'intéresser seulement à (-n+3) .

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:14

pardon cliquage trop rapide
donc jusque la c'est ok
quel est le signe de -n+3?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:16

Négatif, non?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:18

oui car on te dit à partir du rang 3 donc n>3 donc -n+3<0
donc Wn est comment ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:19

Décroissante?

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:27


question 1 ..check
la 2)
Wn=3 +(n-2)/2n   
une idée?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:46

Pour le 2) on a
0<n/2n<1/n         (+3)
=3<3+(n)/2n<3+(1)/n                           (-2/2n)
=3-(2)/2n<3+(n-2)/2n<3+(1)/n-(2)/2n

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 17:48

oui c'est bien et que peux tu en conclure ?

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 18:04

Je ne vois vraiment pas le rapport avec l'exercice. Cependant on peut par comparaison en déduire la limite de Wn qui est 3.

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 18:07

bin le rapport c'est qu etu viens de répondre à la question 2

Posté par
m3lissa
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 18:11

😂😂aaaaah!!!! En tout cas merci beaucoup pour la patience et l'aide!!

Posté par
ciocciu
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 23-10-20 à 18:14

de rien ...8-)

Posté par
m3lissa
Raisonnement par récurrence 26-10-20 à 19:09

Bonjour, en classe de terminale, j'ai un dm sur les suites dans lequel je bute dès le premier exercice, pouvez-vous s'il vous plait m'éclairer un peu.

Sujet: On considère deux suite:
- La suite (Un) définie par u0=1 et, pour tout n ∈ N, par Un+1= 2Un-n+3
- La suite (Vn) définie pour tout n ∈ N, par vn=2n

1)Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N, Un= 3×2n+n-2.

Pour le moment , j'ai  déjà fais la rédaction du raisonnement mais je bloque sur l'hérédité:  
Posons la propriété Pn " Un=3×2n+n-2 " pour tout n ∈ N.
Initialisation: Soit n=0, on a U0=1    et  3×20+0-2=1
Pn est vraie pour n=0.

Hérédité: Supposons que Pn soit vraie pour un entier k tel que Uk= 3×2k+k-2. Montrons alors qu'elle est aussi vraie pour k+1, c'est-à-dire: Uk+1= 2Uk-k+3      

D'après l'hypthèse de récurrence,... et là je n'y arrive pas. Je me demande si au lieu de mettre que Uk+1= 2Uk-k+3, je ne devrais pas mettre que Uk+1= 3×2k+1+(k+1)-2

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Variation d'une suite à partir d'un certain rang 26-10-20 à 19:12

Bonjour
m3lissa, tu n'es pas nouveau...

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