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Variation de fonctions et bouchons routiers
Bonjour,
J'ai ce DM a faire et j'aurais besion d'aide.
Problème étudié : Comment le choix d'une vitesse peut-elle permettre de fluidifier le trafic sur autoroute ?
Modélisation :
Nous allons modéliser le problème en faisant un certain nombre d'hypothèses pour obtenir un modèle simple exploitable.
Nous supposons que :
- nous étudions une seule voie de l'autoroute, rectiligne et que les véhicules y roulent a vitesse contante v ;
- les véhicules gardent tous la même distance de sécurité entre eux ;
- les véhicules sont tous de la même longueur.
La distance l parcourue entre les ayants de 2 voitures consécutives est alors constante.
A) Mise en équation
Les distances sont mesurées en mètre , les durées en secondes et les vitesses en m.s-1.
1. Justifier que le nombre de voitures sur une portion de longueur d est d / l .
2. Exprimer la distance parcourue en une heure par la première voiture en fonction de v.
3. Montrer que le débit D(v) , c'est a dire le nombre de voitures par heure, est 3600v / l .
4. On suppose qu'à vitesse v, chaque véhicule laisse, avec le précédent, une distance de sécurité donnée par Cv2 + tRv , où tR désigne le temps de réaction et C dépend de différents paramètres (véhicule, route sèche ou mouillée, état des pneus...) On note L le longueur d'une voiture.
Montrer que le débit D(v) est donnée par D(v)= (3600v)/(Cv2 + tRv + L)
B) Étude de la fonction D
On prendra dans la suite : C = 0.07 ; tR = 1s et L = 4m.
1. Exprimer en m.s-1 la vitesse max autorisée vMax= 130 km.h-1 .
2. Étudier le sens de variation de la fonction D pour v (en m.s-1) compris entre 0 et vMax.
3. Représenter la fonction D.
4. Calculer la vitesse assurant un débit max puis m'exprimer en km.h-1 .
bonjour
les premières questions sont relativement simples : le problème est déjà décortiqué.
qu'as-tu commencé à faire ?
Pour l'instant j'ai juste fait la première question des 2 parties, le reste je bloque.
Merci marie84 pour ton schéma ça m'aidera beaucoup.
2) distance = vitesse*temps
à la vitesse de v m/s, la voiture parcourt v mètres en 1 seconde => en 1 heure elle parcourt 3600 fois plus, donc 3600v
Donc pour la 3e question on a :
D(v) = vitesse en heure sur la longueur entre deux axants de voiture,
Donc D(v) = 3600v / l
attention, D(v) n'est pas une vitesse, mais un débit par heure(= nb 'y' de voitures comprises sur une distance de 3600v)
D(v) = 3600v / l oui
tu en es où?
qu'as-tu trouvé ?
B) Étude de la fonction D
On prendra dans la suite : C = 0.07 ; tR = 1s et L = 4m. --> comment s'écrit la fonction dans ce cas
1.-- niveau 3ème, donc tu sais faire
2. Étudier le sens de variation de la fonction D --> dérive la fonction et étudie le signe de la dérivée
Il me reste la 4 du Aet la 4 du B, le reste je sais faire.
Pour la fonction elle s'écrit donc : 0.07v2 + 1v + 4
Sauf si je me trompe
A4) relis l'énoncé attentivement avec le dessin sous les yeux ^^
et utilise l'énoncé de la question précédente
B4) correspond à l'extremum de la fonction; dans le cas présent, à la valeur qui annule la dérivée (utilise le tableau de variation).
Bonjour j'ai aussi ce dm mais je n'arrive pas a la question B. 2)
Je trouve une dérivée tres bizard. Quelqu'un peu m'aider ?
D(v)= (3600v)/(Cv2 + tRv + L) devient
D(v)= (3600v)/(0.07v2 + v + 4)
quelle dérivée tu trouves ? (donne le détail de ton calcul)
Je trouve -252v^2 + 3600v + 18000 / 0,0049v^4 + v^2 + 16
Après je sais pas qui est ce qui a raison..
D(v)= (3600v)/(0.07v² + v + 4)
D '(v) = (-252v² +14400)/(0.07v²+v+4)²
D '(v) = 0
-252v² +14400 = 0
252v² = 120²
2 solutions, dont on ne retiendra que la positive v1 = 120/V(252)= 60/V63 
7.56 m/s
-252v²+14400 est positif entre ses racines, donc sur l'intervalle d'étude
la fonction D est croissante jusqu'en v1, puis décroissante
--> extremum = maximum
d'où le débit maximal atteint pour une vitesse d'environ 27.2 km/h
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