Niveau Master

variation de la constante

Posté par
GWa 23-08-17 à 20:58

Bonsoir à tous,

Liée à mon poste précédent (mais pas de manière évidente du coup je fais un nouveau poste) voici une nouvelle question. Comme je l'ai dit dans mon précédent poste, je dois rendre ma thèse de master demain, et si je viens de tomber sur une erreur qui corrompt toute la thèse. Toute l'aide possible serait extrêmement appréciée.

Voici le problème:

Soit $A\colon [0,\infty)\to \R^{d\times d}$ (prend donc des matrices pour value) et $b\colon [0,\infty)\to \R^d$
Soit $y_s^x\colon [0,\infty)\to \R^d$ qui satisfait pour tout $t\in [0,\infty)$ que
$y_{s,t}^x= x + \int_{s}^tA(u)y_{s, u}^x$
Autrement dit
$y(s)=x$ et $y'(t)=A(t)y(t)$   (appelons ça E1)

Maintenant j'aimerais résoudre l'équa diff suivante (un peu plus compliquée):

$z(0)= 0$ et $z'(t)=A(t)y(t) + b(t)$ ,  (appelons ça E2)

en écrivant si possible $z$ en fonction de $y$ .

Hélas je connais rien aux équa diff et comme je suis un manche, je me suis planté et et ne le réalise que maintenant.

Voici ce que j'ai fait:

1) j'ai pensé  que la solution de E1 pouvait être donnée par
$y_{s,t}^x=\exp\bigg(\int_s^tA(u)\, du\bigg) x$
parce que si on dérive (en t), à tort, l'exponentielle COMME D'HABITUDE on obtient E1

2) faire une sorte de variation de la constante et conclure que
$z(t)=\int_0^ty_{s,t}^{b(s)}\, ds= \int_0^t \exp\bigg(\int_s^tA(u)\, du\bigg) b(s)\, ds$
et encore une fois, j'ai utilisé à tort la (apparemment pas toujours vraie) propriété que

$\tfrac{d}{dt}\exp(B(t))=B'(t)\exp(B(t))$ .

Je me souviens plus exactement d'où m'est venue cette idée, probablement de quelque chose en une dimension, mais je crois que ça s'appelle variation de la constante.

J'imagine que vous ça doit pas être totalement faux. Peut-être qu'il faudrait reformuler tout ça différemment. Enfin bon, si jamais quelqu'un a une idée (même juste une référence sur les EDP) je serais ravi de l'entendre.

Posté par re : variation de la constante 24-08-17 à 00:00

Au cas où, je crois que mon problème est résolu. Pour ce que je fais, je n'ai pas besoin de la forme explicite de $y(t)$ et seulement de son existence.

Merci quand même et bonne soirée!

Posté par re : variation de la constante 24-08-17 à 00:02

2 remarques et une question  :
    .Tes notations sont trop lourdes et il manque des hypothèses .
    .Qu'appelles tu "  résoudre l'équa diff  X = AX + b  " ?

Ce que je peux dire :
Si A : [0 , +[ M_d() et b : [0 , +[    ^d sont continues  alors (CL) pour tout  c ^d il existe une seule application  dérivable  X :  [0 , +[   ^d telle que X(0) = c et X ' = AX + b .

Si A est constante  on a une formule . Je n'en connaît pas sinon . Le problème vient de ce que  l'algèbre M_d() n'est pas commutative .
Si A arrive dans une sous-algèbre commutative   de M_d() alors peut-être ...

Posté par re : variation de la constante 24-08-17 à 08:47

Salut Etniopal,

Alors d'abord merci pour ta réponse. En fait j'assume que $A$ et $b$ sont toutes deux continues.

En combinant des résultats que j'avais prouvé et un théorème d'existence de flot (un bouquin de Teschl sur les ODE que l'auteur a mis volontairement en ligne), je suis venu à bout de mon problème.

Si tu as des lectures concernant ces histoires d'algèbres commutatives et non-commutative ça m'intéresserait d'ailleurs.

Bonne journée!

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