salut

je dirai bien un truc du genre : avec n variant de 1 à 2017 (ou de 0 à 2017)

mais bon il y a tout de même un pb : si deux nombres consécutifs sont bien premiers entre eux, il n'en est pas du cas de deux nombres pairs consécutifs

donc je dirai ensuite un truc du genre :     où p_n est le n-ième nombre premier ...

ha ben non : ça n'est plus consécutif !!

alors je dirai ensuite :     où p_n est toujours le n-ième nombre premier ... (peut-être en enlevant 2 dans le produit ...)


to be continued ...

Zormuche : pour le choix de 2017 tu as clairement raison

Je pensais aussi à une histoire de périodes . Si on liste les multiples des 2017 premiers nombres premiers , on obtient 2017 listes qui évoluent chacune selon leur propre règle . Verticalement Il y a un moment où les coïncidences des facteurs premiers devient périodique  mais c'est  très long . Je pense même ( sans preuve ) que durant cette période , toutes les configurations sont possibles . Je ne dois pas être très clair mais on peut imaginer 2017 phares qui s'allument à intervalle régulier , sur une période on devrait pouvoir retrouver toutes les configurations possibles .

Imod

Dans   je ne trouve que de courtes séquences de nombres consécutifs ayant un nombre différent de facteurs premiers alors 2017

Il est clair que si on ne regarde que les premiers entiers , on a l'impression de ne jamais progresser vu que le petit nombre de facteurs premiers distincts intervenants . Ce qui est sûr c'est comme dirait Lapalisse , c'est que le produit de 2017 facteurs premiers distincts admet 2017 facteurs premiers distincts . On peut faire de même avec  autant de facteurs qu'on le souhaite . Comme cela a déjà été dit le problème est de faire entrer les entiers consécutifs dans l'histoire . Quand on arrive à des grands nombres de facteurs , 2017 parait très petit et on ne voit pas pourquoi ça ne marcherait pas . D'un autre côté on ne voit pas non plus pourquoi ça marcherait , d'où la question

Imod

Dans   à 5chiffres :
La séquence la plus longue est 6
dont la première est :
16830     5 facteurs
16831      0  (premier )
16832      1 div 2
16833       3 facteurs
16834      2 facteurs
16835      4 facteurs

Je veux bien te croire mais le plus petit entier ayant 2017 facteurs premiers distincts a plusieurs milliers de chiffres , il faut laisser tomber les outils de calcul usuel  .

D'autre part selon les conventions 16831 a un diviseur premier : lui même

Imod

OUI et même  2   (lui-même et 1)
Cette observation indique qu'il faut chercher dans une zone dans laquelle il y a au moins un intervalle de 2017 entre premiers

Pour les 5 chiffres et en prenant tous les diviseurs  des nombres
la plus grande séquence est 11 en rêvant  je dirai qu'il faut des nombres de 1000 chiffres.

On sait qu'il faut attendre 486 258 341 004 083 pour trouver un écart de 800

en fait à la relecture de la question

et si c'est le nombre de facteurs qui compte alors les 2017 nombres ne doivent contenir qu'au plus un nombre premier ... qui ne possède qu'un seul diviseur premier : lui-même !!

ou encore : tous les nombres premiers ont le même nombre de facteur premier : eux-mêmes !!

@Dpi : Faut-il rappeler que 1 n'est pas un nombre premier ?
@Carpediem : Beaucoup de questions

Il me semble qu'il y a une seule ambiguïté dans la question : celle que j'ai notée dans mon premier message . Je la rappelle avec un exemple .

Combien y a-t-il de facteurs premiers dans 12 , deux ou trois ?

Pour la version 12 a trois facteurs premiers , 7, 8 , 9 est une suite de trois entiers consécutifs ayant un nombre différent de facteurs premiers ( 1 , 3 et 2 ) .

Pour la version 12 a deux facteurs premiers , 28 , 29 , 30 est une suite de trois entiers consécutifs ayant un nombre différent de facteurs premiers communs ( 2 , 1 , 3 ) .

Il n'y a aucune obligation que les nombres premiers soient distincts , pour deux entiers distincts , seul leur nombre importe . Par exemple on peut accepter 5 et 10 car ils n'ont pas le même nombre de facteurs premiers même si 5 est un facteur commun à chacun d'eux .

J'espère que c'est plus clair même si j'en doute

Imod

>Imod

Quand je disais 2 je pensais aux diviseurs pas aux facteurs.
Car j'ai tenté de trouver des séquences avec nombre de diviseurs différents.
Je vais aussi de trouver la plus grande séquence pour les non-premiers et j'estime ne pas dépasser 24...

Je pense de plus en plus que les deux versions sont vraies mais que le problème original s'intéressait au nombre total de facteurs premiers ( distincts ou non ) dans la décomposition de l'entier .

Prove that : There exist 2017 consecutive positive integers so that each positive integer has different number of prime factors.

Dans cette version le nombre de moyen de facteurs premiers grandit très vite même si on retombe assez souvent sur des 1 , 2 , ... D'autre part pour 2017 entiers , la recherche type "bourrin" à la machine a peu de chance d'être une bonne idée , il y a peut-être un petit outil algébrique à sortir de la boîte ou une simple astuce qui nous échappe .

Je dis ça sans le début de l'idée d'une preuve

Imod

J'ai cherché à la main les premières suites de n entiers consécutifs avec des nombres différents de facteurs premiers dans leur décomposition et on tombe assez vite sur . Il est clair qu'il est inutile de chercher à exhiber une réponse explicite . Il faut donc trouver un argument arithmétique , s'il existe .

Imod

En regardant dans le détail le lien vers l'OEIS , je viens de me rendre compte que la la liste fournie sur le site est bien plus contraignante que celle qu'on attend ici . Pour résumer , dans la liste de n entiers de l'OEIS il faut trouver des nombres de décompositions décrivant exactement l'ensemble des entiers de 1 à n , c'est bien plus que ce qui est demandé ici . Il faut "simplement" que le nombre de facteurs premiers de chaque entier soit distinct de celui des autres .

L'air de rien , la contrainte est bien moins lourde

Imod

J'ai laissé tourner mon bidule jusqu'à 999 999
Pour un nombre de facteurs différents je  n'ai pas trouvé mieux qu'une séquence de 7 :

Il me semble qu'il y a quelques erreurs dans le nombre de facteurs premiers distincts . Il y a parfois un décalage d'une unité .

770064 et 770069 on chacun quatre facteurs premiers

Sinon dans ton intervalle d'étude et en comptant tous les facteurs premiers distincts ou non , on peut arriver au moins à 9 en partant de 755 968 . On peut peut-être faire mieux car j'ai pioché dans la liste dans laquelle le nombre de facteurs doit décrire tous les entiers les entiers de 1 à 9 .

Je vais attendre encore un peu pour voir s'il y a d'autres réactions sur l'île , sinon je proposerais le problème ailleurs en vous laissant un lien

Imod

ouais parce que là j'ai vraiment pas trop le temps et je ne n'ai pas d'idée ... donc merci par avance

Bonjour,

Exploration numérique, qui n'apportera sûrement pas grand-chose (mais bon ... je l'ai faite alors je partage). On remplace 2017 par N (1ère colonne) et on donne la première séquence trouvée qui est telle que les nombres de facteurs premiers (comptés sans multiplicité) sont tous différents.

Il n'y a pas de petite contribution , chacun apporte son éclairage

Une certitude , quelque soit la version choisie pour le problème , on est très vite dépassée par la taille des réponses . De plus on ne voit pas apparaitre de modèle à travers les solutions proposées pour les premiers cas . Deux possibilités : la solution est vraiment complexe , ou bien une astuce nous échappe . Je n'ai pas de réponse à cette question .

Imod

J'ai soumis le problème à un autre site il y a quelques jours , rien de concluant pour le moment mais une piste : les restes chinois
Imod