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Variations de suites

Posté par
maelys31
03-04-21 à 18:25

Bonjour,j'ai un souci de méthode sur l'exercice suivant:
Soit la suite (un) définie par u0=-3 et n, un+1=\frac{1}{2}u_n+4.
1-Etudier les variations de cette suite.
2-Calculer \sum_{k=0}^{n}{u_k}=u_0+u_1+...+u_n.
Voici ce que j'ai fait:
1-Pour tout entier naturel n,on a :
u_n_+_1-u_n=\frac{1}{2}u_n+4-u_n=-\frac{1}{2}u_n+4.
C'est ici que j'ai un problème de méthode u_n_+_1-u_n n'est ni supérieur ni inférieur à 0. Je pense que j'ai fait une erreur. J'ai cherché dans mes cours quelque chose qui pourrait m'aider mais je n'ai rien trouvé.Y a t'il une autre méthode pour étudier les variations de cette suite?
Merci beaucoup

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 03-04-21 à 18:30

bonjour

exprime un+1 - un en fonction de un - un-1

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 03-04-21 à 18:38

matheuxmatou @ 03-04-2021 à 18:30

un - un-1

Comment trouve t'on cette equation?
Je n'avais jamais vu cette équation avant ...

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 03-04-21 à 18:52

un+1 = 0,5 un + 4
un = 0,5 un-1 + 4

qu'obtient-on en soustrayant membre à membre ces deux égalités ?

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 03-04-21 à 19:00

On obtient 0,5(u_n-u_n_-_1)

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 03-04-21 à 19:01

on obtient une égalité

donc , s'il te plait, écris moi l'égalité que tu obtiens

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 03-04-21 à 19:08

Désolée,est-ce qu'on obtient cette égalité?
-0,5un+4=0,5un-0,5un-1

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 03-04-21 à 19:28



tu obtiens

un+1 - un = 0,5*( un - un-1)

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 03-04-21 à 19:33

D'accord,je n'avais pas faot attention dans ma premiere réponse que j'avais oublié de marque l'égalité...
Donc 0,5(un-un-1)>0
Donc un+1-un>0.
La suite (un) est donc croissante.
C'est correct?

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 03-04-21 à 23:08

disons qu'il faut faire une récurrence propre !

mais c'est l'idée

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 04-04-21 à 16:31

Pour tout entier naturel n on a:
u_n=0,5u_n_-_1+4
u_n_+_1-u_n=0,5u_n+4-0,5un-1-4
u_n_+_1-u_n=0,5(u_n-un-1)
0,5(u_n-un-1)>0 alors u_n_+_1-u_n>0.
Par conséquent la suite (un)est croissante.
C'est mieux?

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 04-04-21 à 17:28

faudrait déjà poser clairement ce que tu veux démontrer par récurrence... et puis l'initialiser ta récurrence, sinon elle ne vaut rien

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 04-04-21 à 18:07

Je ne comprends pas...

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 04-04-21 à 22:49

tu as déjà vu le "raisonnement par récurrence" ?

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 04-04-21 à 22:58

Non,je n'ai pas étudier ça. On n'en parle pas dans mes cours...

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 05-04-21 à 10:37

ah pardon...

donc le raisonnement est le suivant :

uk+1 - uk = 0,5 (uk - uk-1) pour tout k 1

donc

un+1 - un a le même signe que un - un-1

qui a le même signe que un-1 - un-2

qui a le même signe que un-2 - un-3

...

qui a le même signe que u1 - u0 = 5/2 - (-3) = 11/2 > 0

donc la différence de 2 termes consécutifs est toujours positive, donc la suite est croissante

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 05-04-21 à 15:28

D'accord, merci beaucoup pour votre aide

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 05-04-21 à 16:00

Quand étudie t'on la méthode du raisonnement par récurrence?

Posté par
matheuxmatou
re : Variations de suites 05-04-21 à 17:20

en terminale je pense...

Posté par
maelys31
re : Variations de suites 05-04-21 à 17:28

D'accord,merci



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