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Variations des suites

Posté par
Cerise13200
18-07-18 à 10:35

Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur les variations des suites. En effet je ne comprends pas la méthode pour prouver si elles sont croissantes ou décroissantes car la méthode employée change selon les suites. Par exemple pour la suite Un=1/(n+1) comment prouver qu'elle est croissante ou décroissante? Devons-nous passer par Un+1 - Un ou bien passer par la dérivée ?  Normalement toutes les méthodes devraient se rejoindre mais j'ai l'impression que ce n'est pas le cas.

Merci d'avance

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 10:42

En passant par Un+1-Un il serait strictement décroissante

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 10:48

Un+1-Un=(-1)/(n2+3n+2)
Parceque n2+3n+2) est strictement supérieur à 0 quelqu'en soit la valeur de n

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 10:59

Merci,
j'ai trouvé que Un+1-Un=-1/(n+2)(n+1) . Donc numérateur négatif et dénominateur positif donc la suite est décroissante.

Par contre je suis bloqué pour ce type de suite ; Un= (-2)n. Si j'utilise la méthode Un+1-Un cela me donne : (-2)n+1-(-2)n
(-2)n*(-2) +2n et je suis bloqué à ce stade du calcul. Comment faire ensuite?

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:15

Là tu utilises la méthode
(Un+1)/(Un)

Si pour tout entier n, (Un+1)/(Un) >1, alors la suite est croissante.
Si pour tout entier n, (Un+1)/(Un) <1 alors la suite est décroissante

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:24

Bonjour,

Je trouve donc ; (-2)n+1 /(-2)n
(-2)n+1*(-2)-n
(-2)n+1-n
(-2)1
(-2)<1 La suite est-elle donc décroissante?

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:35

Oui suite est décroissante quelqu'en soit la valeur de n

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:35

La suite est décroissante quelqu'en soit la valeur de n

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:37

Avait tu vu les suite particulier
Les suite géométrique et arithmétique ?

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:39

Bonjour,

Cet exemple est tiré du cours de mathématiques du CNED ,et d'après eux la suite n'est ni croissante ni décroissante , ils le prouvent de la façon suivante :
U0=1 U1=-2 et U2=4 Donc U0>U1 et U1<U2 .
Je précise que je ne comprends pas du tout ce raisonnement , ni la méthode employée qui me semble très aléatoire.

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:40

Mounkaila144 @ 18-07-2018 à 11:37

Avait tu vu les suite particulier
Les suite géométrique et arithmétique ?


Non je ne les ai pas encore vu

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 11:47

Ah d'accord
(-2)nCe type de suite est un suite géométrique
Tout te sera expliqué lorsque tu les verrai
A plus

Posté par
Glapion Moderateur
re : Variations des suites 18-07-18 à 12:10

(-2)n décroissante ? vous plaisantez ?

ça donne -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; .... vous trouvez ça décroissant ?

Posté par
Mounkaila144
re : Variations des suites 18-07-18 à 12:12

Oooh attendez il dit avoir trouvé comme réponse -2
J'en ai pas pris la peine de vérifier

Posté par
Glapion Moderateur
re : Variations des suites 18-07-18 à 12:18

ça n'est pas parce que Un+1 / Un = -2 (qui est juste) que la suite est décroissante !

la règle c'est :

Si pour tout n, Un > 0 et Un+1/Un > 1 alors la suite est croissante
si pour tout n, Un>0 et Un+1/Un < 1 alors la suite est décroissante

Mais ici les un ne sont pas toujours positifs et ces règles ne s'appliquent pas.
La suite n'est ni croissante ni décroissante, elle est alternée.

Posté par
malou Webmaster
re : Variations des suites 18-07-18 à 13:10

Bonjour Glapion

Mounkaila144 @ 18-07-2018 à 11:15

Là tu utilises la méthode
(Un+1)/(Un)

Si pour tout entier n, (Un+1)/(Un) >1, alors la suite est croissante.
Si pour tout entier n, (Un+1)/(Un) <1 alors la suite est décroissante

faux...attention à ce que tu racontes Mounkaila144 avec beaucoup d?aplomb....


Cerise13200, au premier coup d'oeil, suivant la parité de n, ...on voit que cette suite est alternée (dit autrement alternativement à termes positifs et négatifs)

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 14:16

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponses . Je rencontre encore un problème concernant les variations avec cette suite Un=-(1/3)n. En effet je ne peux pas utiliser la règle car les Un sont négatifs :
U0=-1
U1=-0.33
U2=-0.25
U3=-0.03
U4=-0.01

Quelle règle dois-je alors appliquer?

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 14:59

Bonjour,

En prenant la première méthode je trouve ceci :
(1/3)n*(2/3) ce qui voudrait dire que la suite est croissante.
Est-ce correct?
Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Variations des suites 18-07-18 à 17:48

Citation :

En prenant la première méthode

au niveau rédaction, on fait mieux !

oui, c'est OK

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 18-07-18 à 17:58

Bonjour,

Merci beaucoup.
J'ai fait un nouvel exercice et je ne comprends pas la correction. En effet pour trouver le sens de variation de la suite Un= n2 +n-5 ils disent qu'on peut le démontrer de la manière suivante :
(n+1)2>n2
(n+1)-5>n-5
Je cite la correction d'exos résolus 1ère S " et en additionnant membre à membre ces deux inégalités de même sens :
Un+1>Un"

Je ne comprends pas du tout comment ils arrivent à trouver (n+1)2 ou n2 mais également (n+1)-5 ou n-5.  En effet en passant par Un+1-Un je ne trouve pas du tout cela.

Posté par
Leile
re : Variations des suites 18-07-18 à 18:41

bonjour,

dans ta correction, on sépare    n² +n -5  en deux parties
la première    : n²   et on compare avec le suivant (n+1)²:
(n+1)²  > n²

la deuxième partie  n-5, on la compare avec l'élément suivant (n+1)
(n+1)  - 5   >   n-5

puis on ajoute les deux inégalités membre à membre
(n+1)² + (n+1) - 5    >   n² + n - 5

tu dis que tu n'arrives pas à la même conclusion en écrivant   Un+1 - Un ?
montre ce que tu as fait..


NB : ici, tu pourrais aussi calculer la dérivée de la fonction f(x)= x² +x -5..

Posté par
Cerise13200
re : Variations des suites 19-07-18 à 09:46

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
Alors pour Un+1 -Un je trouve ceci :
(n+1)2+(n+1)-5- [n2+n-5]
n²+2n+1+n+1-5-n²-n+5
2n+2
2(n+1)

Donc pour tout n de n+1>0 donc la suite est strictement croissante.

En développant l'inégalité (n+1)² + (n+1) - 5    >   n² + n - 5  je retombe sur le même résultat.  Comment s'appelle la méthode employée dans le livre? Est-ce  la récurrence?

Posté par
Leile
re : Variations des suites 19-07-18 à 10:35

"alors pour Un+1 -Un je trouve ceci :
Un+1 - Un =  2(n+1)
Donc pour tout n de N,  n+1>0 donc la suite est strictement croissante. "

ainsi, tu aboutis à la même conclusion.. tout va bien.

"  En développant l'inégalité (n+1)² + (n+1) - 5    >   n² + n - 5  je retombe sur le même résultat "  : tu n'as pas à le faire.    
(n+1)² + (n+1) - 5    >   n² + n - 5   était le résultat du $ précédent, qui permettait de conclure que la suite était croissante.

cette "méthode" n'a pas de nom particulier à ma connaissance.
Un =    n² + n - 5  est définie de manière explicite, pas par récurrence.
ici Un est défini en fonction de n.
Une suite définie par récurrence : on exprime Un+1 en fonction de Un

regarde ces fiches :
Cours sur les suites numériques de première
pour bien différencier la définition explicite et la définition par récurrence

et     une longue série d'exercices divers sur les suites
pour t'entraîner et voir des méthodes diverses de résolution.

Bonne journée



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