Salut,

Mais non, ce n'est pas compliqué

Pour montrer que 1 est racine de g(x),
il suffit de vérifier que g(1)=0

Or si tu fais le calcul :
g(1) = 1³ + 2×1² - 3
g(1) = 1 + 2 - 3
g(1) = 0
OK, ca marche.

Donc si 1 est racine, tu peux écrire g(x) sous cette forme :
g(x) = (x-1)(ax²+bx+c)

Il faut développer, réduire afin de pouvoir identifier les coefficients
du polynome afin de déterminer les réels a,b,c :

g(x) = (x-1)(ax²+bx+c)
g(x) = ax³ + bx² + cx -ax² - bx - c
g(x) = ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c

Comme on sait que :
g(x) = x³ + 2x² - 3,
on a le système :
a = 1
b-a = 2
c-b = 0
-c = -3

D'ou :
a=1
b=3
c=3

Et donc :
g(x) = (x-1)(x²+3x+3)

Cherchons si g(x) possède d'autres racines autres que x=1.
Pour cela, on va chercher à résoudre x²+3x+3 = 0
=3²-4(1×3)<0
Donc 1 est bien la racine unique du polynôme g(x).

On sait de plus que x²+3x+3 est toujours positif,
vu que <0

Le signe de g(x) est donc le même que le signe de x-1 (fais un tableau
de signes, ce sera mieux) :
g(x)<0 pour x<1
g(x)>0 pour x>1

Sauf erreur, il faut que tu vérifies tout ça...
Bon courage