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Vecteur et parallèlogramme

Posté par
yohan3254
28-10-13 à 16:39

Bonjour, Avec ABCD un parallélogramme, M milieu de [BC] et I point d'intersection de (AM) et (BD) et J le point d'intersection de (DM) et (AC) :

Démontrer que (AD) et (IJ) sont parallèles.

Merci d'avance

Posté par
yohan3254
Vecteur et parallèlogramme 28-10-13 à 16:58

Bonjour, ABCD est un parallélogramme. Le point M milieu de [BC]. I le point d'intersection des droites (AM) et (BD) et J le point d'intersection des droites (DM) et (AC) .

Démontrer que les droites (AD) et (IJ) sont parallèles.

Merci

*** message déplacé ***

Posté par
watik
re : Vecteur et parallèlogramme 28-10-13 à 17:19

bonjour

considère le triangle (ACB)
dans ce triangle (AM) est la médiane issue de A car M est le milieu de [BC] et (BD) est la médiane issue de B car elle passe par O centre du parallélogramme et O est le milieu de [AC]
donc le point I intersection des deux médianes (AM) et (BD) est le centre de gravité du triangle (ACB).
donc AI=(2/3)AM    ; écritures en vecteurs

considère maintenant le triangle (BCD)
tu montreras de la même manière que J est le centre de gravité de ce triangle et donc:
DJ=(2/3)DM       ; en vecteurs

AJ=AD+DJ      ; chasles
  =AD+(2/3)DM ; car DJ=(2/3)DM
  =AD+(2/3)(DA+AM)  ; chasles
  =(1/3)AD+(2/3)AM
  =(1/3)AD+AI      ; car AI=(2/3)AM
donc
AJ-AI=(1/3)AD
donc
IA+AJ=(1/3)AD
donc
IJ=(1/3)AD
donc les deux vecteurs IJ et AD sont colinéaires
donc les deux droites (IJ) et (AD) sont parallèles.
---------
voila



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