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vecteur normal et vecteur directeur

Posté par pixoo (invité) 02-06-06 à 22:19

Bonjour


1) Je dois trouver une équation du plan P passant par A sachant :

a) A(4,1,-3) et (D) dans P : x+y-z+3=0 et 4x-y+2z=0
-->J'ai trouvé 2x+18y+5z=11. Est-ce que c'est bien ça ?

b) A(1,1,0) et (D) : x=t, y=-1+2t et z=1-3t
--> -y+z=-1 ?


2) (D) : y-z=3 et -x-y+2=0
    () : -x+3z=1 et -x-3y=2

a) Donner un vecteur directeur de ces 2 droites.
b) Donner une équation paramétrique de ().
-->Je ne vois pas comment trouver un vecteur directeur ...

Merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
kaiser Moderateur
re : vecteur normal et vecteur directeur 02-06-06 à 22:27

Bonsoir pixoo

Tu as peut-être oublié de le préciser mais le plan P doit passer par le point A et contenir la droite (D), non ?

Kaiser

Posté par
geo3
re : vecteur normal et vecteur directeur 02-06-06 à 23:05

Bonsoir
1)a) ce n'est pas bon car (0,0,0) à 4x-y+2z = 0 donc à D mais n' pas à ton P
  (0,0,3)   aussi à D
  b) idem (0,-1,1)   à D mais pas à -y + z = -1
Si tu ne trouves pas je te donnerais le marche à suivre demain.
*
2)a) c'est un triple différent de (0,0,0) qui vérifie y-z = 0 et -x-y=0  par
     exemple (-1,1,1) ou tout multiple
  b) z= t
     x= ( 1-3z) = 1 -3t
     y= [( -x - 2)/3 ]= (-1 + 3t - 2)/3 = -1 + t
A+

Posté par
geo3
re : vecteur normal et vecteur directeur 03-06-06 à 11:33

Bonjour
Sorry ; à mon avis j'étais (très) fatigué , tu oublies ma justification du  1)a) et le calcul du 2)b)

Correction et solutions

1)a)Ca n'est pas bon car (1/2,0,2) à  2x + 18y +5z = 11 mais pas à P1 :   x+y-z+3=0 et P2:4x-y+2z=0

1ère méthode
(-1,0,2) et (0,-6,-3) appartiennent à P1 et P2 donc à D
Ton P : ax + by + cz + d = 0 comprend (4,1,-3) et (-1,0,2) et (0,-6,-3)  =>
4a + b - 3c + d = 0  (1); -a + 2c + d = 0  (2); -6b - 3c + d = 0 (3) =>
(1) + 4.(2) => b + 5c + 5d = 0 (4)
(3) + 6.(4) => 27c + 31d = 0  => c = -31d/27
(4) =>  b = -5c - 5d = 155d/27 - 5d = 20d/72  
(2) =>  a =  2c + d = -62d/27 + d = -35d/27   =>
prenons d = -27 =>  a = 35 , b = -20 , c = 31
P :  35x - 20y + 31z - 27 = 0

2ème méthode
Si tu as vu les faisceaux de plans : tout plan P passant par D intersection des 2 plans P1 (x+y-z+3=0 ) , P2 (4x-y+2z=0) est de la forme
µ1.P1 + µ2.P2 = 0  c-à-d µ1(x+y-z+3) + µ2(4x-y+2z) = 0 avec µ1 et µ2 réels non tous deux nuls
exprimons qu'il passe par A(4,1,-3) => µ1(4+1+3+3) + µ2(16-1-6) = 0  =>
11.µ1 + 9.µ2 = 0 .
Choisissons µ1 = 9 et µ2 = -11  =>  9(x+y-z+3) - 11(4x-y+2z) = 0  =>
-35x + 20y - 31z + 27 = 0
idem  mais ce qui est plus court et moins fastidieux

1)b)ce n'est pas bon car (0,-1,1)   à D mais pas à -y + z = -1
(1,1,0) , (0,-1,1) (t=0) , (1,1,-2) (t=1) appartiennent au plan P  ( ax + by + cz + d =0 ) à chercher =>
a + b + d = 0  (1)
  -b + c + d = 0   (2)
a + b - 2c + d = 0   (3)
=> (1) - (3)  => 2c = 0  => c = 0
=> (2)  =>  b = d
=> (1) => a = - 2d
P : -2d.x + dy + d = 0   => 2x - y - 1 = 0
*
*
2)a) c'est un triple différent de (0,0,0) qui vérifie y-z = 0 et -x-y=0  par
     exemple (-1,1,1) ou tout multiple

b) z= t
     x= ( -1+3z) = -1 +3t
     y= [( -x + 2)/3 ]= ( 1 - 3t + 2)/3 = 1 - t
A+

Posté par pixoo (invité)re : vecteur normal et vecteur directeur 03-06-06 à 18:49

Merci



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