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Niveau école ingénieur
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Vecteur propre

Posté par
matheux14
19-08-23 à 01:18

Bonsoir,

Soit \lambda une matrice propre simple (i.e de multiplicité algébrique 1) de  A \in M_n(\K).

Donner un vecteur propre attaché à \lambda à l'aide de mineurs de A - \lambda I_n.

J'ai essayé avec les matrices d'ordre 2 ou d'ordre 3 pour voir mais c'est pas évident du tout

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 19-08-23 à 07:51

Bonjour,
Tu as fait un lapsus en première ligne (matrice au lieu de valeur).
Ceci revient à trouver un vecteur non nul du noyau d'une matrice carrée M de taille n de rang  n-1. Une telle matrice a son déterminant nul et possède un mineur de taile n-1 non nul. On peut alors penser au développement du déterminant de M suivant une ligne ...

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 09:46

Bonjour GBZM

Du coup on a :

\text{det}(M) = a_{11} \cdot \text{det}(M_{11}) - a_{12} \cdot \text{det}(M_{12}) + a_{13} \cdot \text{det}(M_{13}) - \cdots + (-1)^{n+1} \cdot a_{1n} \cdot \text{det}(M_{1n}) = 0

Mais ensuite je ne vois pas comment former un vecteur à partir des éléments de ce mineur. .

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 19-08-23 à 10:22

Essayons par un côté légèrement différent. Tu connais la formule de la comatrice ? M fois la transposée de la matrice des cofacteurs = ?

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 10:42

Oui, comatrice C

\begin{pmatrix}C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
 \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
 \\ \end{pmatrix}

C_{ij} est le cofacteur correspondant à l'élément m_{ij} de la matrice M.

Le cofacteur C_{ij} est calculé comme le déterminant du mineur obtenu en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de la matrice M, multiplié par (-1)^{i+j}.

M \text{ fois la transposée de la matrice des cofacteurs :} M \cdot \text{Cofacteur}(M)^T = \text{adj}(M) = \text{det}(M) \cdot I_n
 \\ où adj(M) est la matrice adjointe de M.

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 19-08-23 à 11:19

Une coquille dans l'écriture de la formule : M\cdot\mathrm{adj}(M)=\det(M) I_n.
Si \det(M)=0, cette formule ne te donne-t-elle pas des vecteurs-colonnes du noyau de M ? Y en a-t-il au moins un non nul dans le tas ?

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 12:28

Si det(M)=0, la formule M \cdot adj(M)=det(M) \cdot I_n n'est pas applicable pour inverser M, et par conséquent, on n'a pas des vecteurs-colonnes non nuls du noyau de M.

Il faudrait avoir det(M) \neq 0.

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 19-08-23 à 12:33

Heu ... réfléchis mieux : un vecteur colonne V est dans le noyau de M si et seulement si M \cdot V est le vecteur nul, n'est-ce pas (je ne fais que répéter la définition) ?
Alors, si M\cdot \mathrm{adj}(M) est la matrice nulle, ça te fait un paquet de vecteurs du noyau de M, non ?

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 12:42

Ah oui, je n'avais pas vu du tout

Donc si je comprends bien, si M \cdot adj(M) est la matrice nulle, alors cela signifie que tous les vecteurs colonnes dans adj(M) sont dans le noyau de M. Ce qui inclut également des vecteurs colonnes non nuls.

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 19-08-23 à 14:14

"Ce qui inclut également des vecteurs colonnes non nuls."
Pourquoi ?

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 17:09

Il n' y en a pas nécessairement..

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 17:20

Mais comme M est de rang n - 1, alors le noyau de M contient au moins un vecteur non nul.

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 19-08-23 à 18:58

Ce n'est pas le bon argument. Tu as zappé quelque chose que j'ai écrit dans mon premier message.

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 19-08-23 à 19:02

Oui,

Citation :
Une telle matrice a son déterminant nul et possède un mineur de taile n-1 non nul.

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 20-08-23 à 10:56

Si on compose à droite par un vecteur X,

M.Adj(M).X=0

M.(Adj(M).X)=0

Il faut donc trouver X tel que Adj(M).X soit vecteur non nul.

Non ?

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 20-08-23 à 12:28

Non, c'est beaucoup plus simple que ça !
C'est quoi les coefficients de \mathrm{adj}(M), au signe près ?

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 20-08-23 à 12:51

C_{ij}  est le cofacteur correspondant à l'élément m_{ij} de la matrice M.

Le coefficient a_{ij} de la matrice adj(M) est : a_{ij}=(-1)^{i + j} \cdot C_{ij}

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 20-08-23 à 15:46

Le cofacteur est au signe près un mineur de taille n-1 de la matrice M.
Je ne comprends pas pourquoi tu n'arrives pas à conclure. Tout est sous tes yeux.

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 20-08-23 à 22:19

Donc le vecteur propre recherché, est un vecteur non nul du cofacteur.

Le coefficient du cofacteur C_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot det(M).

Mais quel est ce vecteur concrètement ?

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 20-08-23 à 23:26

"Un vecteur non nul du cofacteur"
Tu t'embrouilles.
Reprends les choses posément depuis le début, sans t'embrouiller.

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 20-08-23 à 23:35

Plutôt la comatrice au lieu de cofacteur.

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 22-08-23 à 13:17



Citation :
Mais quel est ce vecteur concrètement ?

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 22-08-23 à 22:08

Tu as tous les éléments pour répondre à ta question !!!
Puisque la matrice est de rang n-1, elle a (au moins) un mineur de taille n-1 non nul. Mettons que le mineur obtenu en enlevant la dernière ligne et la dernière colonne (le cofacteur d'indice (n,n)) soit non nul. Je te laisse trouver un vecteur qui engendre le noyau (décrit à l'aide de mineurs).

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 22-08-23 à 23:30

Si on suppose que le cofacteur (n, n) est non nul alors le mineur de taille n - 1 correspondant est non nul.

Donc pour trouver un vecteur dans le noyau de M, on peut choisir un vecteur X avec la dernière composante étant égale au cofacteur (n, n). Et les autres composantes choisies arbitrairement.

X = \begin{pmatrix} 0 \\
 \\ \vdots \\
 \\ 0 \\
 \\ C_{nn}
 \\ \end{pmatrix}
C_{nn} est le cofacteur d'indice (n, n) au signe près.

Et comme on veut un vecteur propre \mathcal{X}, il suffit de normaliser le vecteur X.

On a \|X\| = |C_{nn}|

\mathcal{X} = \begin{pmatrix} 0 \\
 \\ \vdots \\
 \\ 0 \\
 \\ \dfrac{C_{nn}}{|C_{nn}|}
 \\ \end{pmatrix} vecteur propre.

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 23-08-23 à 12:26

Non, ça ne va pas du tout ! Ton vecteur n'a aucune raison d'appartenir au noyau. Tu sembles avoir complètement oublié ce que tu écrivais plus haut :

Citation :
Donc si je comprends bien, si M \cdot adj(M) est la matrice nulle, alors cela signifie que tous les vecteurs colonnes dans adj(M) sont dans le noyau de
Citation :
M
. Ce qui inclut également des vecteurs colonnes non nuls.

Si on suppose le cofacteur C_{n,n} non nul, tu devrais pouvoir trouver un vecteur non nul du noyau.
Quelle drôle d'idée de vouloir normaliser des vecteurs propres ! On n'a d'ailleurs aucune raison d'être dans un espace euclidien.

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 23-08-23 à 14:23

Le coefficient a_{ij} de la matrice adj(M) est : a_{ij}=(-1)^{i + j} \cdot C_{ij}

Tous les vecteurs colonnes dans adj(M) sont dans le noyau de M, y compris au moins un non nul.

En supposant que C_{n, n} non nul, c'est à dire a_{n, n} non nul, un vecteur propre vaut

\mathcal{X} = \begin{pmatrix} a_{1, n} \\
 \\ a_{2, n} \\
 \\ \vdots \\
 \\ a_{n - 1, n} \\
 \\ a_{n,n}
 \\ \end{pmatrix}

Merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 23-08-23 à 19:56

Attention, l'adjointe est la TRANSPOSÉE de la matrice des cofacteurs. Et cofacteurs et mineurs, ce n'est pas exactement la même chose. Il faut donc bien faire attention et écrire précisément !

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 23-08-23 à 20:21

Oui, c'est vrai qu'on peut faire mieux.

On a a_{ij}=(-1)^{i + j} \cdot C_{ij}
et C_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot det(M_{ij}).

Il vient a_{ij} = det(M_{ij})M_{ij} est là sous matrice obtenue en éliminant la i-ième ligne et la j-ième colonne.

\mathcal{X} = \begin{pmatrix} a_{1, n} \\
 \\ a_{2, n} \\
 \\ \vdots \\
 \\ a_{n - 1, n} \\
 \\ a_{n,n}
 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} det(M_{1, n}) \\
 \\ det(M_{2, n}) \\
 \\ \vdots \\
 \\ det(M_{n - 1, n}) \\
 \\ det(M_{n,n})
 \\ \end{pmatrix}

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 24-08-23 à 00:04

Il me semble que ceci faux.

Matrice des cofacteurs

\begin{pmatrix}C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
 \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
 \\ \end{pmatrix}

adj(M) est là transposée de cette matrice donc

adj(M) = \begin{pmatrix}C_{11} & C_{21} & \dots & C_{n1} \\
 \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
 \\ \end{pmatrix}

Il vient \mathcal{X} = \begin{pmatrix} C_{n, 1} \\
 \\ C_{n, 2} \\
 \\ \vdots \\
 \\ C_{n, n-1} \\
 \\ C_{n, n}
 \\ \end{pmatrix}

Or C_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot det(M_{ij})M_{ij} est là sous matrice obtenue en éliminant la i-ième ligne et la j-ième colonne.

adj(M) =  \begin{pmatrix} det(M_{11}) & -det(M_{21}) & \dots & (-1)^{n + 1} det(M_{n1}) \\
 \\ -det(M_{12}) & det(M_{22}) & \cdots & (-1)^{n + 2} det(M_{n2}) \\
 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \\ (-1)^{n + 1} det(M_{1n}) & (-1)^{n + 2} det(M_{2n}) & \cdots & det(M_{nn})
 \\ \end{pmatrix}

Finalement \mathcal{X} = \begin{pmatrix} (-1)^{n + 1} det(M_{n1}) \\
 \\ (-1)^{n + 2} det(M_{n2}) \\
 \\  \vdots \\
 \\  det(M_{nn})
 \\ \end{pmatrix}

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 24-08-23 à 08:25

Voila. En faisant les choses avec ordre et méthode, on y arrive mieux !

Posté par
matheux14
re : Vecteur propre 24-08-23 à 08:37

Merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : Vecteur propre 24-08-23 à 11:38

Avec plaisir.



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