Niveau autre

vecteur unitaire

Posté par os2 (invité) 21-05-05 à 22:53

salut

je dois déterminer deux vecteur unitaire orthogonale à (1,-1,1) et (0,4,4)

j'ai donc fait le produit vectoriel et ça ma donnée: [-8,-4,4]

->
u1 = -8/racine(6)i - 4/racine(6)j +4/racine(6)k

->
u2= 8/racine(6)i + 4/racine(6)j - 4/racine(6)k

il semblerait que ça soit

->
u1 = -2/racine(6)i - 1/racine(6)j +1/racine(6)k

->
u2= 2/racine(6)i + 1/racine(6)j - 1/racine(6)k

donc j'imagine qu'il fallait que je simplifie

doit t'on toujours diviser par racine de 6?

Posté par re : vecteur unitaire 21-05-05 à 23:15

bonjour

u1 et u2 étant donnés (et non colinéaires), il existe deux vecteurs unitaires orthogonaux à u1 et u2.

Celui que tu as donné et l'autre sont opposés ... ce sont les deux réponses.

Maintenant, ta réponse est juste si il n'y a pas de sens imposé comme: vecteur sortant d'une surface, triède direct, ...

en faisant u1 ^ u2 on obtient un vecteur w orthogonal aux deux mais il n'est pas de norme 1.
Aussi on calcule sa norme: ||w|| = racine(6)

et on prend comme vecteur unitaire:
$\frac{1}{\sqr{6}}\vec{w}$

Posté par re : vecteur unitaire 21-05-05 à 23:16

ah .. je n'ai pas vérifié tes calculs mais ta réponse est cohérente avec celle que tu cites

Posté par re : vecteur unitaire 21-05-05 à 23:29

Bonjour

$3$\rm \vec{u}$\;1\\-1\\\;1$$ et $3$\rm \vec{v}$0\\4\\4$$

On a en effet :
$3$\rm \vec{u}\wedge\vec{v}$-8\\-4\\\;4$$

On cherche à présent deux vecteurs unitaires chacun colinéaires avec $3$\rm \vec{u}\wedge\vec{v}$

Autrement dit , on recherche les k vérifiant :
$3$\rm ||k\vec{u}\wedge\vec{v}||=1 (1)$

La relation (1) s'écrit aussi :
$3$\rm |k|\times||\vec{u}\wedge\vec{v}||=1$
Or nous avons :
$3$\rm ||\vec{u}\wedge\vec{v}||=4\sqrt{6}$ (je te passe le calcul )
Ainsi l'équation en k devient :
$3$\rm |k|4\sqrt{6}=1$
$3$\rm \Leftrightarrow$
$3$\rm k=\frac{1}{4\sqrt{6}} ou k=-\frac{1}{4\sqrt{6}}$

Ainsi , deux vecteurs recherchées sont :
$5$\rm \vec{w_{1}}\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix} et \vec{w_{2}}\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}$

Jord