Bonjour,

Le relation de Chasles n'a rien à voir ici. Il vaut mieux utiliser le théorème de Thalès sur les droites parallèles...

Bonsoir,
Même pour la première question ?

Pour la première question, il faut démontrer que si L=I alors I est le milieu de [AB] et réciproquement, si I est le milieu de [AB] alors I=L.

Commençons par la réciproque :
On utilise le théorème  selon lequel, une droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et étant parallèle à un second côté, alors elle passe par le milieu du 3e côté,
Donc si I est le milieu de [AB]
Alors la droite passant par I et parallèle au côté [BC], coupe le côté [AC] en son milieu.
on peut dire que J est le milieu de [AC].
Pour la même raison, on peut dire que K est le milieu de [BC]
Pour la même raison, on peut dire que L est le milieu de [AB].
Le milieu de [AB] étant unique, on en déduit L=I.

Il reste maintenant à établir que si I=L alors I est le milieu de [AB].
(IJ) et (BC) sont parallèles. Donc d'après le théorème de Thalès, AI/AB=AJ/AC.
De même, (JK) et (AB) sont parallèles, donc AJ/AC=BK/BC.
De même (KL) est parallèle à (AC), donc BK/BC=BL/BA.
Des 3 égalités précédentes on déduit AI/AB=BL/BA.
Or I=L, donc AI/AB=BI/BA=BI/AB, donc AI=BI.
Donc I est le milieu de [AB]

Merci pour cette réponse.
J'imagine que pour la question 2. on se sert aussi de ce théorème ?

Oui, on peut à nouveau utiliser Thalès pour cette seconde question. Voici le schéma complété :

OK merci beaucoup pour votre aide

Si je me base sur ce que vous avez dit plus haut,
AI/AB = BK/BC
si (IN) est parallèle à (AC), alors
BI/AB = BK/BC
des deux égalités,
AI/AB = BI/AB
==> AI = BI
ce qui est juste dans le cas où I est le milieu de [AB]

Je voudrais savoir si c'est suffisant

On ne sait pas que (IN) et (AC) sont parallèles. C'est justement ce qu'il faut démontrer à la question 2.

Alors dans ce cas je suis complètement déboussolé...

Il faut utiliser, plus précisément, la réciproque du théorème de Thalès. En voici une version simplifiée :

Si 2 droites sont sécantes en un point A. Si la première droite passe par les points B et C et la seconde par les points B' et C' tels que AB/AC=AB'/AC', alors les droites (BB') et (CC') sont parallèles.

En utilisant ce théorème, tu dois pouvoir montrer que les droites (IN) et (AC) sont parallèles...

Donc on pose que (IN) et (AC) sont parallèle si et seulement si:
BI/BA=BN/BC?

Oui, si tu parviens à démontrer que BI/BA=BN/BC, alors les droites (IN) et (AC) sont parallèles.

Merci professeur
Je vais essayer voir

J'arrive pas à continuer dans l'exercice
Quand deux droites sont parallèles, une troisième parallèle à l'une est parallèle à l'autre
Je dis donc que si (LK) est parallèle à (IN), alors cette dernière est parallèle à (AC)
J'essaie mais je n'aboutis à rien

Oui mais on ne sait pas que (LK) est parallèle à (IN).

Voici une solution (il ne manque que la conclusion) :

(IJ)(BC) donc AI/AB=AJ/AC
(JK)(AB) donc AJ/AC=BK/BC
(KL)(AC) donc BK/BC=BL/BA
(LM)(BC) donc BL/BA=CM/CA
(MN)(AB) donc CM/CA=CN/CB

On peut donc écrire :

Par conséquent :

Tu peux alors conclure

On peut dire que comme AI/AB=CN/CB,
Alors les droites (IN) et (AC) sont parallèles...

Oui, mais il faut expliquer, à l'aide de la réciproque du théorème de Thalès, comment on arrive à cette conclusion.
D'ailleurs, dans la solution que je donne, il faudrait également préciser le théorème utilisé.
Par exemple, pour la première ligne, on peut écrire :
Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et elles coupent 2 droites sécantes au point A  en I et B d'une part et en J et C d'autre part. Donc, d'après le théorème de Thalès, les rapports AI/AB et AJ /AC sont égaux.
Lorsque le même raisonnement est appliqué plusieurs fois, dans des situations analogues, on n'est pas obligé de réécrire à chaque fois ce raisonnement : on peut se contenter de dire "de même ...".

OK je vous remercie vraiment